자유투 확률

모두 안녕, 르브론이야. 내가 너희를 위해 간단한 문제 하나를 내볼게. 한번에 10개의 자유투를 성공시킬 가능성이 얼마나 될 것 같아? 내 좋은 친구 살이 대답해 줄 거야. 정말 좋은 질문이야, 르브론, 그리고 내 생각엔 네가 내 대답을 듣고 놀랄 것 같아. 난 네 자유투 성공률을 찾아봤는데 대략 75% 정도인 것 같아. 내 자유투 성공률보다 아주 조금 높을 뿐이지. 근데 이 사실을 해석할 수 있는 한 가지 방법은 백만 명의 르브론 제임스들, 네가 상상할 수 있는 한 많은 르브론 제임스들이 자유투를 던지는 모습을 상상해 보는 겁니다. 그럼 이 선이 자유투를 시도하는 모든 르브론 제임스들을 나타낸다고 해 봅시다. 그리고 이걸 '자유투 1'이라고 부르는 거에요. 그렇다면 평균적으로 약 75%가 첫 시도에서 성공한다고 예상할 수 있어요. 그럼 75%를 나타내 봐요. 여기는 절반쯤이고 여기쯤이 25%일 거니까 여기가 75% 지점일 거에요. 우리는 자유투 시도들의 75%가 성공할 거라고 예상할 수 있죠. 75%. 그리고 나머지 25%의 자유투들은 실패할 거라고 예상할 수 있겠죠. 이제 생각해야 할 건 자유투 시도를 연속으로 한다는 사실이에요. 연속으로 10번을 성공시켜야 하니까요. 그렇다면 첫 시도에 성공했던 75%의 자유투 시도들에 집중해 봅시다. 첫 시도에 실패했던 25%도 나중에 자유투를 성공시킬수도 있겠지만 신경쓸 필요가 없어요. 벌써 조건에서 어긋났으니까요. 그럼 이제 두번째 자유투 시도로 가 봅시다. '자유투 2' 첫번째 자유투를 성공시킨 르브론 제임스들 가운데 몇 퍼센트가 두번째 자유투도 성공시킬 수 있을까요? 그리고 첫번째 자유투 시도를 성공시켰든 말든간에 그 사실은 두번째 자유투 시도의 성공 확률에는 영향을 주지 않는다고 생각해야 해요. 확률은 르브론 제임스의 자유투 성공률인 75% 그대로 두는 거에요. 그러니까 우리는 두번째 시도의 르브론 제임스들 중 75%가 자유투를 성공시킬 거라고 예상할 수 있어요. 그러니까 이젠 처음 75%의 75%를 생각해야 해요. 여기쯤이 처음 75%의 절반일 거고 여기는 1/4, 여기는 3/4쯤일 테니 75% 지점일 거에요. 이만큼 말이에요. 이제 이건 첫번째 자유투를 성공시킨 르브론 제임스들 중에 두번째 자유투도 성공시킨 르브론 제임스들을 의미하죠. 연속으로 두 번 자유투를 시도했을 때 두 번 모두 성공시킬 르브론 제임스들의 평균적인 확률을 나타낸다고 볼 수 있어요. 그러니까 이 길이는 75%의 75%인 거에요. 첫번째 75%의 75%. 그리고 여기서 벌써 규칙을 발견할 수 있을 것 같은데요, 세번째 자유투 시도로 가 봅시다. '자유투 3' 그러면 이 선 중 몇 퍼센트가 자유투를 성공시킬 수 있을까요? 물론, 이중 75%가 세번째 자유투를 성공시키겠죠. 이중 75%가 세번째를 성공시킬 거에요. 그럼 이건 어떻게 쓸까요? 이건 75%, 75%의 75%인 위의 숫자의 75%가 되는 거에요. 그래서 열번째 자유투 시도까지 가게 된다면 벌써 규칙이 보이긴 할 텐데, 많이 건너뛰어서 열번째 자유투까지 생각해 본다면 굉장히 작은 분수가 나올 거에요. 열번의 시도 모두를 성공시킬 확률은 75%의 75%의 75%의... 75%가 연속으로 10번이 곱해진 거죠. 그렇게 하면 이게 남는 거에요. 75% 곱하기 75%, 또 이걸 복사해서 붙여 넣으면, 너무 오래 걸리지 않도록, 복사하고 붙여넣고 시간이 없으니까 곱셈 부호는 나중에 쓰고 4번째, 6번째, 8번째, 그리고 10번째. 그리고 이제 곱셈 부호들을 써 넣어 봅시다. 곱하기, 곱하기, 곱하기, 곱하기. 그래서 열번의 자유투를 모두 성공시킨 확률인 이 작은 분수는 여기 옆의 식이랑 값이 같은 거에요. 75%의... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 75%가 연속으로 열번 곱해진 거죠. 이 계산을 손으로 하면 엄청 오래 걸릴 거에요. 그리고 계산기로 하더라도 숫자들을 다 입력하다가 실수를 하고 말 거에요. 다행스럽게도 여러 번 곱하는 걸 뜻하는 연산자가 있죠. 지수를 사용하면 돼요. 그래서 저 식을 다르게 써 보자면 여기에 이렇게 쓸 수 있겠죠, 75%의 10 제곱 75%를 10번 거듭하여 곱한 것. 아래의 식과 다르게 표현됐지만 같은 거에요. 그리고 75%, 퍼센트(percent)는 말 그대로 100개 중 몇 개(per cent)를 뜻하는 거죠. 100을 뜻하는 'cent'라는 어근을 봤을 수도 있어요. 100년을 뜻하는 'century', 100 'cent'는 1달러. 'percent'라는 말 자체가 100개 중 몇 개를 의미해요. 그래서 이걸 75/100의 10제곱으로 쓸 수 있는 거에요. 이건 소수로 나타낸 0.75의 10제곱과도 같죠. 이제 계산기를 꺼내서 이걸 한번 계산해 봅시다. 0.75의 10승, 0.056이 나오네요. 소수 셋째 자리에서 반올림을 하면 0.06이 되네요. 소수 셋째 자리에서 반올림을 해서 대략 0.06이 나왔어요. 그러니까 자유투 시도를 10번 했을 때 10번 모두 성공할 확률은 6% 정도가 되는 거죠. 높은 자유투 성공률을 가지고 있다고 해도 이 확률이 그다지 높은 건 아니죠. 20번에 1번 성공시키는 것보다 조금 확률이 높을 뿐인 거에요. 이제 여기서는 여러분과 함께 이걸 어떻게 일반화시킬 수 있는지 생각해보고 싶어요. 누구의 자유투 성공률을 가지고 생각하든 10번 연속으로 던졌을 때 모두 성공시킬 확률을 알아낼 수 있게요. 규칙은 아까 이미 발견한 것 같아요. 자유투를 성공시킬 확률을 n은 연속으로 시도한 자유투 횟수로 하고 그리고 이건 굳이 르브론의 자유투 성공률아 아니어도 돼요. 그냥 누군가의 자유투 성공률인데, 이 경우에 르브론은 그 값이 75%였던 거죠. 이 확률을 연속해서 던진 횟수만큼 곱하는 거죠. n번을 거듭해서 곱하는 거에요. 그럼 여러분의 자유투 성공률을 가지고 생각해 본다고 해요. 자유투 성공률이 60%라고 해 봐요. 0.6으로 나타낼 수도 있겠죠. 자유투 성공률이 60%라고 생각해 보는 거에요. 그리고 연속으로 5번 던졌을 때 모두 성공시킬 가능성을 계산하고 싶으면 0.6을 5번 거듭해서 곱해보면 되는 거에요. 그렇다면 결과는 소수 셋째 자리에서 반올림을 했을 때 8%가 되겠네요. 이 계산을 직접 해 보길 바랄게요. 자유투 성공률이랑 연속으로 몇 번 던져서 성공시키고 싶은지 숫자를 모두 바꾸어서 말이에요.