종속 확률 예제

종속확률 문제를 하나 더 풀어봅시다 자루 안에 동전 4개가 있습니다 그 중 3개는 앞뒷면의 확률이 반반이 아니고 동전을 던졌을 때 뒷면이 나올 확률이 45%입니다 나머지 1개는 앞뒷면 확률이 같습니다 즉 앞면일 확률이 50%이고 뒷면일 확률이 50%입니다 자루에서 동전 하나를 무작위로 꺼내서 4번 던져 앞면만 4번 나올 확률은 얼마일까요? 한번 생각해 봅시다 우리가 자루 안에 손을 넣고 동전 하나를 꺼내면 앞뒤 확률이 다른 동전을 꺼낼 가능성도 있습니다 동전 4개 중 3개가 앞뒤 확률이 다르므로 그런 동전을 꺼낼 확률은 3/4고 앞뒤 확률이 같은 동전은 4개 중 1개이므로 확률이 같은 동전을 가질 확률은 1/4입니다 이제, 확률이 다른 동전을 꺼냈다고 가정합시다 확률이 다른 동전은 뒷면이 나올 확률이 45%라는걸 기억하세요 이때, 주의해야 합니다 여기서는 동전 '앞면'에 대해서 묻고 있으니까요 동전 뒷면이 나올 확률이 45%라는 것은 동전 앞면이 나올 확률은 55%라는 겁니다, 그렇죠? 뒷면이 나올 확률이 45%이면 앞면이 나올 확률은 55% 전체 확률(100%)에서 45%를 빼면 55%니까요 확률이 같은 동전은 뒷면이 나올 확률이 50%이고 앞면이 나올 확률도 50%입니다 좋습니다 이제 각각의 경우에서 앞면만 4번 나올 확률이 얼마인지를 알고자 합니다 그래서, 확률이 다른 동전의 경우 던질 때 앞면이 나올 확률은 55%이므로 4번 다 앞면이 나올 확률은 0.55 곱하기 0.55 곱하기 0.55 곱하기 0.55 그래서 확률이 다른 동전을 고르고 앞면이 4번 연속으로 나올 확률은 0.55를 네 번 곱한 것에 3/4를 곱한 것과 같습니다 그러므로 3/4 곱하기 0.55를 네 번 곱한 것 이것은 0.55의 4제곱이라고 할 수 있죠 이제 계산기를 꺼내서 이 식의 값을 계산하면 됩니다 그럼 확률이 같은 동전에 대해서도 똑같이 해봅시다 확률이 일정한 동전을 꺼냈다면 앞면이 4번 연속 나올 확률은 0.5 곱하기 0.5 곱하기 0.5 곱하기 0.5입니다 확률이 같은 동전을 꺼낼 확률은 1/4이고 따라서 4번 연속 앞면이 나올 확률은 1/4 곱하기 0.5를 네 번 곱한 것과 같고 이것은 1/4 곱하기 0.5의 4제곱입니다 이제 계산기를 꺼내서 값을 계산합시다 우선 (3 나누기 4) 곱하기 ㅡ 그리고 곱하기를 할 때 분모에만 곱하는 것이 아니므로 3/4 곱하기 ㅡ 여기서는 계산 순서때문에 괄호를 쳐서 나타냅니다 다시, 3/4 곱하기 0.55를 네 번 곱한 것은.. 계산기를 화면에서 치우고 적겠습니다 일단 계산을 둘 다 할게요 아무튼 첫 번째 계산의 확률값은 위과 같고 두 번째 계산은 (1 나누기 4) 곱하기 0.5의 4제곱이므로 확률값은 오른쪽과 같습니다 그래서 정리하자면, 확률이 다른 동전을 꺼내고 앞면이 4번 연속 나올 확률은 위와 같이 약 6.9%입니다 이것이 앞뒤 확률이 다른 동전을 꺼내고 앞면만 4번 연속 나올 확률이죠 또한 확률이 같은 동전을 꺼내고 앞면이 4번 연속 나올 확률은 1.6%로 훨씬 낮습니다 이제 전체 경우에서 앞면이 4번 연속으로 나올 확률은 각각의 경우의 확률값의 합입니다 계산기를 꺼내서 알아봅시다 아까 계산했던 값을 가지고 하겠습니다 헷갈리지 않게 다시 칠게요 0.015625 더하기 0.0686296875 ㅡ 반올림할테니 복잡하지 않을겁니다 그래서 둘의 합을 구하면 ㅡ 계산기를 화면에서 치우고 여기에 적겠습니다 그래서 첫 번째 계산값은 0.068629.. 반올림해서 7 그리고 두 번째 계산값은 0.015625 다음으로 이 두 값을 더합니다 그래야 전체 확률을 구할 수 있으니까요 확률이 다른 동전에서의 확률이 있고 확률이 같은 동전에서의 확률이 있습니다 전체 확률을 구하려면 두 확률을 더해야 합니다 그래서 두 확률을 더해보면 0.08425..를 얻는데 그냥 반올림하겠습니다 따라서 앞면이 4번 연속으로 나올 확률은 8.425%, 반올림하면 8.43% 그리고 이 확률은 모든 동전이 반반의 확률이었을 때보다 약간 더 높은 확률입니다 앞면이 나올 확률이 절반보다 높은 동전을 꺼낼 확률이 3/4이기 때문이죠 그것이 바로 모든 동전이 반반의 확률을 가진 상태에서의 확률보다 이 확률이 약간 더 높은 이유입니다