종속 확률

에리카가 육면체 주사위와 사면체 주사위를 동시에 굴린다고 가정합시다 같은 숫자가 나오는 사건을 A 같은 숫자가 나오는 사건을 A 같은 숫자가 나오는 사건을 A 사면체 주사위에서 4가 나오는 사건을 B라 합니다 일어날 수 있는 모든 경우의 집합인 표본공간을 사용해 다음 질문에 답해 보세요 다음 질문에 답해 보세요 A가 일어날 확률 에리카가 굴린 두 주사위가 같은 수일 확률은 얼마일까요? 일어날 수 있는 모든 경우의 집합인 표본공간은 이렇습니다 모든 경우는 일어날 확률이 같습니다 전체 경우의 수를 알아봅시다 1, 2, 3, 4개에 1, 2, 3, 4, 5, 6개니까 가능한 경우의 수는 총 24가지입니다 말이 되네요 사면체의 4가지 경우와 육면체의 6가지 경우에서 총 24가지의 같은 확률의 경우의 수가 있습니다 사건 A가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 확률은 전체 24가지 사건 중 전체 24가지 사건 중 두 주사위의 수가 같은 사건 A의 비로 나타냅니다 두 주사위의 수가 같은 사건 A의 비로 나타냅니다 가능한 경우를 찾아봅시다 첫번째 그림은 두 주사위의 수가 같습니다 같은 모양은 아니지만 1과 1이 나왔습니다 같은 모양은 아니지만 1과 1이 나왔습니다 2와 2인 경우 3과 3인 경우 4와 4인 경우가 있습니다 사면체에는 4까지만 있으므로 5와 5가 나올 수는 없습니다 사면체에는 4까지만 있으므로 5와 5가 나올 수는 없습니다 따라서 4개의 경우가 존재합니다 전체 24가지 같은 확률의 경우의 수 중 원하는 경우는 4가지이므로 4/24의 확률입니다 구한 정답을 약분하면 에리카가 굴린 두 주사위가 같은 수일 확률은 1/6입니다 에리카가 굴린 두 주사위가 같은 수일 확률은 1/6입니다 사면체 주사위에서 4가 나오는 경우인 B의 확률은 얼마일까요? 사면체 주사위에서 4가 나오는 경우인 B의 확률은 얼마일까요? B의 확률을 봅시다 역시 같은 확률의 경우의 수는 24가지이고 그 중 사면체 주사위의 눈이 4인 경우는 몇 가지일까요? 이 줄 전체가 사면체 주사위의 눈이 4인 경우입니다 이 줄 전체가 사면체 주사위의 눈이 4인 경우입니다 1, 2, 3, 4, 5, 6가지인데 같은 확률의 경우의 수 24가지 중 1/4가지라고 할 수 있고 확률이 1/4이라고 할 수도 있습니다 말이 됩니다 B의 확률은 육면체 주사위의 영향이 없으므로 사면체 주사위에서 4가 나올 확률인 1/4과 같습니다 사면체 주사위에서 4가 나올 확률인 1/4과 같습니다 사면체 주사위에서 4가 나올 확률인 1/4과 같습니다 사면체 주사위에서 4가 나올 확률인 1/4과 같습니다 B가 주어졌을 때 A가 일어날 확률 즉, 사면체에서 4가 나왔을 때 에리카가 던진 두 주사위의 눈이 같을 확률은 얼마입니까? 조건을 잘 확인합시다 문제에서 B가 일어났을 때 A의 확률입니다 문제에서 B가 일어났을 때 A의 확률입니다 같은 확률의 경우의 수를 같은 확률의 경우의 수를 B가 일어난 경우로 제한하는 것이죠 B가 주어졌다는 것은 B가 일어났다는 뜻입니다 이제 표본공간은 B가 일어난 경우인 이것으로 줄었습니다 이제 표본공간은 B가 일어난 경우인 이것으로 줄었습니다 이제 표본공간은 B가 일어난 경우인 이것으로 줄었습니다 이제 같은 확률의 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6가지입니다 이 중에서 A가 일어나는 경우는 몇 가지일까요? 분홍색 표시했던 것들을 보면 여기 6가지의 경우의 수 중 두 수가 같은 사건은 하나이므로 여기 6가지의 경우의 수 중 두 수가 같은 사건은 하나이므로 확률은 1/6입니다 말이 되네요 답을 써 놓고요 1/6입니다 왜 말이 되나고요? 사면체 주사위는 4라고 가정하는데 이것은 결국 육면체 주사위를 굴려서 이것은 결국 육면체 주사위를 굴려서 4가 나오는 확률을 찾는 것과 같습니다 그것이 사면체 주사위의 수가 4일 때 두 주사위의 수가 같을 수 있는 유일한 경우니까요 여기에서 확인할 수 있습니다 육면체 주사위 또한 4여야만 합니다 육면체 주사위 또한 4여야만 합니다 사건 B가 일어났다고 가정한다면 사건 B가 일어났다고 가정한다면 표본공간을 사건 B로 제한하는 것과 같습니다 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률은 얼마일까요? 에리카가 굴린 두 주사위의 수가 같을 때 사면체 주사위에서 4가 나올 확률이죠 역시 문제를 이해하는 것이 중요합니다 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률입니다 A가 사실일 때 B가 일어날 확률이죠 얼마일까요? 이것은 표본공간을 A가 일어난 같은 확률의 경우인 4가지로 제한한다는 뜻입니다 A가 사실인 경우라고 할 수 있겠네요 1, 2, 3, 4가지가 있습니다 그 중 몇 가지가 B를 포함할까요? 이 4개의 경우 중 사건 B가 일어나는 경우는 이것입니다 두 수가 같은 경우입니다 두 주사위의 수가 같다고 가정할 때 사면체 주사위의 수가 4일 확률은 1/4입니다 사면체 주사위의 수가 4일 확률은 1/4입니다 답은 1/4입니다 이것도 말이 됩니다 두 주사위의 수가 같은 경우는 두 주사위의 수가 1일 때 두 주사위의 수가 2일 때 두 주사위의 수가 3일 때 두 주사위의 수가 4일 때입니다 여기 있습니다 1일 때, 2일 때, 3일 때, 4일 때이죠 여기 있습니다 1일 때, 2일 때, 3일 때, 4일 때이죠 이것이 주어졌을 때 사면체 주사위가 4일 확률은 얼마일까요? 이것이 주어졌을 때 사면체 주사위가 4일 확률은 얼마일까요? 그건 여기 4가지 경우 중 두 주사위의 수가 4일 때 한 가지입니다 그건 여기 4가지 경우 중 두 주사위의 수가 4일 때 한 가지입니다 좋습니다 A와 B가 동시에 일어날 확률 두 주사위의 수가 같고 사면체 주사위의 수가 4일 확률은 얼마일까요? A와 B가 모두 일어났을 경우입니다 살펴봅시다 여기 써 볼게요 다른 색으로요 A와 B가 일어날 확률은 A와 B가 일어날 확률은 A와 B가 일어날 확률은 A와 B가 일어날 확률은 이번에는 다시 같은 확률의 경우의 수 24가지에서 고르는 것이고 이번에는 다시 같은 확률의 경우의 수 24가지에서 고르는 것이고 이번에는 다시 같은 확률의 경우의 수 24가지에서 고르는 것이고 그 중 몇 가지가 A와 B를 포함할까요? A와 B를 얻으려면 두 주사위의 수도 같고 사면체 주사위의 수도 4여야만 합니다 두 주사위의 수가 4인 경우를 찾는 것입니다 전체 같은 확률의 경우의 수 24가지 중 그런 경우는 한 가지입니다 전체 같은 확률의 경우의 수 24가지 중 그런 경우는 한 가지입니다 전체 같은 확률의 경우의 수 24가지 중 그런 경우는 한 가지입니다 이것이죠 그러므로 확률은 1/24입니다 그러므로 확률은 1/24입니다 A가 일어날 확률과 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률의 곱은 얼마일까요? A가 일어날 확률과 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률의 곱은 얼마일까요? A의 확률은 1/6이었습니다 마젠타 색으로 할게요 저는 색깔을 중요하게 생각합니다 그러면 1/6에 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률을 곱하는 것입니다 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률은 1/4이었습니다 1/4를 곱해 주면 이상하게도 1/24가 나옵니다 이상하게도 1/24가 나옵니다 B가 일어날 확률과 B가 주어졌을 때 A가 일어날 확률을 곱한 값은요? B가 일어날 확률은 1/4이었고 B가 일어날 확률은 1/4이었고 B가 주어졌을 때 A가 일어날 확률은 1/6이었습니다 1/6을 곱해 주면 마찬가지로 1/24입니다 이게 말이 되는 것일까요? A와 B가 일어날 확률도 1/24 A의 확률에 A가 주어졌을 때 B의 확률을 곱한 것도 1/24 B의 확률에 B가 주어졌을 때 A의 확률을 곱한 것도 1/24 모두 1/24입니다 이 규칙이 항상 성립할까요? 네 그렇습니다 A와 B가 일어날 확률이란 의미를 생각해 봅시다 두 사건이 동시에 일어난다고 하는 것인데 이는 A가 일어나는 경우에 이는 A가 일어나는 경우에 이는 A가 일어나는 경우에 B와 A가 일어나는 경우도 구해야 하니까 A가 사실일 때 B가 일어날 확률을 곱한 것과 같습니다 A가 사실일 때 B가 일어날 확률을 곱한 것과 같습니다 A가 일어났을 때로 경우를 제한시켰기 때문이죠 이미 A가 일어날 확률을 곱셈에 넣었고 이미 A가 일어날 확률을 곱셈에 넣었고 그 다음 A가 사실일 때 B가 일어날 확률을 곱했습니다 그 다음 A가 사실일 때 B가 일어날 확률을 곱했습니다 순서를 바꾸어보면 더 명확해집니다 이렇게 써 봅시다 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률에 A가 일어날 확률을 곱한 것은 이것은 사건 A가 사실일 확률이고 이것은 A가 사실임이 주어졌을 때 사건 B가 사실일 확률입니다 이것은 A가 사실임이 주어졌을 때 사건 B가 사실일 확률입니다 이 값이 A와 B가 일어날 확률과 같다는 것은 말이 됩니다 이 값이 A와 B가 일어날 확률과 같다는 것은 말이 됩니다 이 값이 A와 B가 일어날 확률과 같다는 것은 말이 됩니다 이것은 분명히 A와 B 둘 다 일어날 확률입니다 이것은 분명히 A와 B 둘 다 일어날 확률입니다 반대로도 할 수 있습니다 B가 주어졌을 때 A가 일어날 확률에 B가 일어날 확률을 곱하면 결과는 마찬가지로 결과는 마찬가지로 B가 사실이어야 하고 B가 사실임이 주어졌을 때 A도 사실이어야 한다고 하는 것이므로 이 값은 당연히 A와 B가 일어날 확률과 같다고 말할 수 있습니다 이 값은 당연히 A와 B가 일어날 확률과 같다고 말할 수 있습니다 이 값은 당연히 A와 B가 일어날 확률과 같다고 말할 수 있습니다