일반적인 곱셈 정리

한 사건과 다른 사건을 포함하는 확률을 계산하려면 이 확률들을 곱합니다.

어떤 경우에는, 첫 번째 사건이 두 번째 사건에 영향을 미칩니다. 이들을 종속사건이라고 부릅니다.

다른 경우에는, 첫 번째 사건이 두 번째 사건에 영향을 미치지 않습니다. 이들을 독립사건이라고 부릅니다.

동전을 던져서 앞면이 두 번 연속으로 나올 확률은 얼마일까요? 즉, 첫 번째에 앞면이 나오고 두 번째에도 앞면이 나올 확률은 얼마일까요?

동전을 두 번 던지는 $100$‍명의 사람들이 있다고 생각해 봅시다. 평균적으로, $50$‍명은 첫 번째 던져서 앞면이 나올 것이고, 그 중 $25$‍명은 다시 한 번 앞면이 나올 것입니다. 따라서 $100$‍명 중 $25$‍명, 또는 총 인원 중 $1/4$‍은 앞면이 두 번 연속으로 나올 것입니다.

몇 명이 던지는지는 중요한 것이 아닙니다. 이론적으로, 기존의 $1/2$‍은 앞면이 나오고, 그 중 $1/2$‍은 앞면이 다시 나올 것입니다. 일부의 일부를 찾기 위해서, 곱합니다.

아래 나타나 있는 수형도가 이 개념을 나타냅니다.

가지를 따라 확률들을 곱해야 한 사건과 다른 사건이 일어날 확률을 구할 수 있습니다.

예를 들어, 뒷면이 두 번 연속으로 나올 확률은 다음과 같습니다:

$6$‍개의 면이 있는 두 주사위를 던진다고 가정합니다.

종속사건에 대해서도 비슷한 방식으로 접근할 수 있습니다.

기본 카드 뭉치 $52$‍장에서 카드 두 장을 비복원추출한다고 가정합시다. 이는 첫 번째 카드를 뽑고, 되돌리지 않은 채로, 두 번째 카드를 뽑는다는 것입니다.

뽑은 두 카드 모두 검정색일 확률은 얼마일까요?

$52$‍장의 카드 중 절반은 검정색이므로, 첫 번째 카드가 검정색인 확률은 $26/52$‍입니다. 하지만, 총 카드 수와 검정색 카드 수가 $1$‍만큼 줄었기 때문에 다음에 검정색 카드를 뽑을 확률은 달라집니다.

다음 수형도에 확률이 어떻게 되는지 나와 있습니다:

두 카드 모두 검정색인 확률은:

책상의 $5$‍명의 학생들 중 $3$‍명은 고학년, $2$‍명은 저학년입니다. 선생님은 $2$‍명을 임의로 뽑아서 과제를 발표시키려고 합니다.

$P(\text{B}|\text{A})$‍의 수직 막대는 "주어졌다"라는 뜻입니다. 따라서 "A가 일어났다고 주어졌을 때 B가 일어날 확률"이라는 뜻입니다.

이 공식으로 두 사건에 대한 확률을 곱할 수 있지만, 두 번째 사건의 확률을 고려할 때 첫 번째 사건을 고려해야 합니다.

독립사건이라면, 한 사건이 다른 사건의 확률에 영향을 미치지 않고, 이 경우 $P(\text{B}|\text{A})=P(\text{B})$‍가 됩니다.