조건부 확률과 독립성

제임스는 날씨에 관심이 있습니다 그리고 가끔 타는 시내로 가는 열차가 제 시간에 출발하는지 알고 싶어합니다 제임스는 1년 동안 매일 날씨가 맑은지, 흐린지, 비가 오거나 눈이 오는지 그리고 기차가 제 시간에 도착하는지 지연되는지를 기록합니다 그 결과는 아래 표에 나와있습니다 좋습니다. 흥미롭네요 표의 열은 각각 정시 도착 연착, 총합을 의미합니다 예를 들어, 맑은 날 같은 경우 1년에 170일이 맑았고 167대의 기차가 정시에 도착했으며 3대가 연착했습니다 다른 기상 조건에서도 이와 읽어볼 수 있습니다 그리고 문제에서는 이 날들에서 기차의 연착과 눈오는 날씨는 서로 독립인지 묻고 있습니다 이것에 대해 생각해 봅시다 그리고 기억하세요 여기에서는 실험적 확률만을 구할 수 있고 그리고 기억하세요 여기에서는 실험적 확률만을 구할 수 있고 실험적 확률은 항상 조심해야 합니다 더 많은 실험을 할수록 더 실제 이론적 확률에 가까운 확률을 구할 수 있습니다 하지만 언제나 그 둘에는 차이가 존재할 수 있습니다 이제 이 자료를 가지고 실험적 확률을 계산해 봅시다 여기서 중요한 질문은 열차가 지연될 확률이 얼마인가 하는 것입니다 그리고 기차가 눈 오는 날 지연될 확률이 얼마인지 생각해 보아야 합니다 이론적 확률을 안다면 그리고 만일 둘이 같다면 열차가 지연될 확률과 눈 오는 날 지연될 확률이 정확하게 똑같다면 지연되는 것과 눈오는 것은 서로 독립적인 사건입니다 하지만 이론적 확률을 알고 열차가 지연될 확률과 눈오는 날 지연될 확률이 서로 다르다면 이 둘을 독립적인 변수로 보기 힘듭니다 아직은 이론적 확률을 모릅니다 그저 실험적 확률을 계산할 것입니다 그리고 여기서 많은 실험을 하고 만약 이들이 꽤 다르다면 이 둘이 서로 독립이 아니라고 자신있게 말할 수 있을 것입니다 만약 실험적 확률과 꽤 비슷하다면 그 둘이 서로 종속이라고 말하기 힘들 것이고 아마 둘이 독립이라고 하게 될 겁니다 그러니 우선 이걸 계산해 봅시다 기차가 단순히 지연될 확률은 얼마일까요? 이 동영상을 멈추고 생각해 보세요 자, 봅시다 일반적으로 생각하면 365번의 시도 혹은 365번의 실험 속에서 35번 열차가 늦었습니다 이제, 열차가 눈오는 날 지연될 확률은 얼마일까요? 이 동영상을 멈추고 생각해보세요 자, 봅시다 총 20일의 눈오는 날이 있었고 20번 중 12번 기차가 지연됐습니다 그러므로 12/20이 확률이 되고 그러므로 12/20이 확률이 되고 분모와 분자에 5를 곱하면 눈 오는 날 기차가 지연될 확률은 60% 혹은 0.6입니다 이건 실험적 확률입니다 그리고 이 숫자보다 훨씬 큽니다 이건 10%보다 작습니다 이 숫자는 0.1보다 작습니다 계산기로 이를 더 정확하게 계산해 보겠습니다 아마 9.몇 퍼센트가 될 것입니다 또는 0.9몇이라고 할 수 있습니다 하지만 확실하게 이 실험 자료에서만큼은 눈 오는 날 지연되는 비율이 보통의 날들보다 훨씬 큰 것을 알 수 있습니다 그러므로 이 자료에 의하면 눈 오는 날 지연될 실험적 확률이 그냥 기차가 지연될 실험적 확률보다 훨씬 크기 때문에 이 둘은 서로 독립이지 않다고 말 할 수 있습니다 그래서 이 날들 중에서 지연되는 것과 눈오는 것이 독립인가요? 답은 아니오입니다