독립성을 알아보기 위해 사건이 일어날 확률 분석하기

토마스가 좋아하는 색깔은 파란색과 초록색입니다 토마스가 좋아하는 색깔은 파란색과 초록색입니다 토마스는 파란색 셔츠 하나 초록색 셔츠 하나 파란색 모자 하나 초록색 목도리 하나 파란 바지 한 벌 그리고 초록색 바지 한 벌을 가지고 있습니다 토마스가 이 옷들 중에서 하나를 임의로 선택한다고 합시다 파란색을 선택하는 경우를 A 셔츠를 고르는 경우를 B라고 하면 다음의 내용 중 사실은 무엇일까요? 다음의 내용 중 사실은 무엇일까요? 다음의 내용 중 사실은 무엇일까요? 각각 A의 확률과 B의 확률 A가 주어졌을 때 B의 확률 B가 주어졌을 때 A의 확률 그리고 A와 B의 확률을 다루고 있습니다 이걸 제대로 다뤄보기 전에 먼저 이 확률을 한번 계산해 봅시다 우선은 A의 확률만 생각해 봅시다 우선은 A의 확률만 생각해 봅시다 우선은 A의 확률만 생각해 봅시다 이는 토마스가 파란색 옷을 선택할 확률입니다 이는 토마스가 파란색 옷을 선택할 확률입니다 그렇다면 같은 확률의 경우가 몇 개 있을까요? 총 여섯 개의 같은 확률의 경우가 있습니다 이 중 파란색을 선택하는 경우는 얼마나 있을까요? 세어 보면 세 개의 같은 확률을 가진 경우가 파란색을 선택하는 경우에 해당됩니다 결론적으로 파란색을 선택할 확률은 3/6 즉 1/2 이죠 그럼 B의 확률은 무엇일까요? 그럼 B의 확률은 무엇일까요? 셔츠를 선택하는 경우가 B의 경우이니까 색깔은 고려하지 않습니다 이 경우도 같은 확률의 경우는 6가지입니다 그 중 셔츠를 선택하는 경우는 6가지 중 2가지입니다 6가지 중 2가지입니다 6가지 중 2가지입니다 B의 확률은 1/3이라고 할 수 있습니다 그럼 B가 주어졌을 때 A의 확률은 무엇일까요? 한번 적어봅시다 한번 적어봅시다 한번 적어봅시다 B가 주어졌을 때의 A의 확률은 무엇일까요? 다른 색으로 쓸게요 B가 발생했다는 전제 하의 A 말입니다 B가 발생했다는 전제 하의 A 말입니다 즉 B가 주어졌을 때 A의 확률은 셔츠를 선택했다는 전제 하에 셔츠를 선택했다는 전제 하에 파란색을 선택하는 경우입니다 B에 의해 경우의 범위는 이 둘로 좁혀지죠 B에 의해 경우의 범위는 이 둘로 좁혀지죠 파란색을 선택하는 경우는 같은 확률을 가진 두 경우 중 하나이니까 셔츠를 선택했다는 전제 하에 파란색을 선택하는 경우의 확률은 1/2입니다 파란색을 선택하는 경우의 확률은 1/2입니다 파란색 셔츠 하나와 초록색 셔츠 하나 밖에 없기 때문입니다 이제 A가 주어졌을 때 B의 확률을 봅시다 이제 A가 주어졌을 때 B의 확률을 봅시다 이제 A가 주어졌을 때 B의 확률을 봅시다 파란색을 선택했다고 가정하였을 때 파란색을 선택했다고 가정하였을 때 이 세 경우 중 하나가 되겠죠 셔츠까지 함께 선택했을 경우의 확률은 무엇일까요? 셔츠까지 함께 선택했을 경우의 확률은 무엇일까요? 보면 세 개의 경우가 있습니다 파란색을 가지고 있을 같은 확률의 경우죠 파란색을 가지고 있을 같은 확률의 경우죠 이 중에서는 하나만이 셔츠를 포함하고 있습니다 결과적으로 A가 주어졌을 때 B의 확률은 1/3입니다 이제 드디어 A와 B의 확률에 대해서 생각해볼 수 있습니다 A와 B의 확률 A와 B의 확률 이것은 파란색 셔츠를 선택했을 경우의 확률입니다 여섯 개의 똑같은 확률을 가진 경우 중에서 오직 하나만 파란색 셔츠입니다 따라서 확률은 1/6이 됩니다 이제 다 계산했으니 이 질문들을 답할 수 있는지 보겠습니다 B가 주어졌을 때의 A의 확률은 A의 확률과 동일합니다 이건 성립합니다 B가 주어졌을 때의 A의 확률은 1/2입니다 A의 확률과 같은 값이죠 셔츠를 선택했다는 전제 하에 토마스가 파란색을 선택할 확률은 단순히 파란색 옷을 선택할 확률과 동일합니다 네, 정확합니다 식을 문장으로 풀어놓은 것일 뿐이네요 식을 문장으로 풀어놓은 것일 뿐이네요 그러니까 이건 맞는 말이죠 A가 주어졌을 때 B의 확률은 B의 확률과 동일합니다 A가 주어졌을 때의 B의 확률은 1/3이고 B의 확률은 1/3이죠 파란색을 선택했다는 전제 하에 토마스가 셔츠를 선택할 확률은 단순히 셔츠를 선택했을 때의 확률과 동일합니다 이것도 맞고요 A와 B는 독립사건입니다 A와 B는 독립사건입니다 두 사건이 독립적이라면 식으로 써 볼게요 B가 주어졌을 때 A의 확률과 A의 확률이 같아야 합니다 A의 확률이 같아야 합니다 그럼 A와 B가 독립적이라고 할 수 있습니다 독립사건이라면 B가 주어졌을 때 A의 확률이 B가 발생했는지의 여부와 상관이 없어야 합니다 B가 발생했는지의 여부와 상관이 없어야 합니다 단순히 A의 확률과 같아야 하죠 이것이 맞다면 A와 B는 독립사건입니다 A가 주어졌을 때 B의 확률이 B의 확률과 같아도 마찬가지로 둘은 독립사건입니다 마찬가지로 둘은 독립사건입니다 아니면 A와 B의 확률이 A의 확률과 B의 확률을 곱한 값과 동일할 때도 A의 확률과 B의 확률을 곱한 값과 동일할 때도 A와 B는 독립사건입니다 이것도 맞는 말입니다 A와 B가 동시에 발생할 확률은 1/6입니다 A와 B의 확률을 곱하면 1/2 x 1/3이므로 결과는 1/6입니다 따라서 모두 맞는 말이므로 결과적으로 A와 B는 독립사건이라고 할 수 있습니다 A의 확률은 B의 발생 여부와 상관이 없습니다 A의 확률은 B의 발생 여부와 상관이 없습니다 B가 발생할 확률 또한 A의 발생 여부와 상관이 없습니다 과연 A와 B의 경우는 서로 종속될까요? 아닙니다 독립적이라는 것과 반대되는 말이니까 이것은 틀렸습니다 A와 B의 확률은 A와 B 각각의 확률을 곱한 값과 동일하다는 것은 이미 확인했습니다 1/6은 1/2 x 1/3이죠 톰이 파란색인 셔츠를 선택할 확률은 톰이 파란색인 셔츠를 선택할 확률은 톰이 파란색을 선택할 확률과 셔츠를 선택할 확률을 곱한 값과 동일합니다 셔츠를 선택할 확률을 곱한 값과 동일합니다 이것 또한 정답입니다 이것 또한 정답입니다 대부분 사실이었네요 거짓인 것은 A와 B가 종속사건이라는 것 뿐입니다 A와 B가 종속사건이라는 것 뿐입니다