조건부 확률 시각적 표현

다음 이야기를 들어보세요 방 안에 밥(Bob)과 동전 두 개가 있습니다 하나는 보통 동전이고 다른 하나는 양면이 같습니다 하나를 무작위로 선택하고 뒤집어서 결과를 외칩니다 앞면 그렇다면 보통 동전을 뒤집었을 확률은 몇 일까요? 이 질문에 대답하기 위해서는 다시 되돌려서 트리를 생성하면 됩니다 첫 번째 사건은 밥은 두 동전 중 하나를 집습니다 따라서 트리는 두 개의 가지를 가집니다 결과의 확률은 동일합니다 일반 동전, 양면 동전 두 번째 사건은 동전을 뒤집습니다 트리가 다시 자랍니다 만약 일반 동전이었다면 뒤집기 결과는 두 개가 나올 수 있습니다 앞면과 뒷면 반면에 양면 동전의 경우 두 결과는 앞면으로 동일합니다 트리가 완성 되었고 리프는 네 개 입니다 각 결과의 확률은 동일합니다 마지막으로 새로운 단서로 밥이 말하기를 앞면 단서가 추가될 때 마다 트리를 잘라내야 합니다 뒷면이 나오지 않았기 때문에 뒷면으로 향하는 가지를 이렇게 잘라내면 밥이 일반 동전을 골랐을 확률은 일반 동전으로 향하는 한 개의 결과 나누기 세 개의 총 가능한 결과 혹은 1/3 입니다 만약 다시 뒤집어서 알려주면 어떨까요? 앞면 각 사건 후에는 트리가 자라나는걸 기억하세요 일반 동전의 리프는 두 개의 동일한 결과를 생성합니다 앞면과 뒷면 양면 동전의 리프는 두 개의 동일한 결과를 생성합니다 앞면과 앞면 두 번째 결과 앞면 이라고 외치는 소리를 들은 후 뒷면으로 향하는 가지를 쳐냅니다 따라서 앞면이 두 번 연속으로 나온 뒤 동전이 일반 동전일 확률은 앞면으로 향하는 일반 동전의 결과 나누기 앞면으로 향하는 모든 결과 혹은 1/5 입니다 우리 동전이 일반 동전일 확률은 앞면이 많이 나올 수록 감소하지만 절대로 0이 되지는 않습니다 아무리 많이 뒤집더라도 동전이 100% 양면이라고는 할 수 없습니다 사실 모든 조건부 확률 문제는 트리로 풀 수 있습니다 하나 더 해볼게요 밥은 동전 세 개가 있습니다 두 개는 일반 동전이고 하나는 치우친 동전입니다 즉, 무게가 치우쳐서 앞면이 2/3로 나오고 뒷면이 1/3로 나옵니다 동전을 무작위로 고르고 뒤집습니다 앞면 밥이 고른 동전이 치우친 동전일 확률은 몇일까요? 되돌려서 트리를 세워봅시다 동전을 고르는 첫 번째 사건은 세 개의 동일한 결과를 가집니다 일반 동전, 일반 동전, 치우친 동전 다음 사건은 동전을 뒤집는 것입니다 일반 동전은 두 개의 동일한 확률의 리프를 가집니다 앞면과 뒷면 치우친 동전은 세 개의 리프를 가집니다 두 개는 앞면을 의미하고 하나는 뒷면을 의미합니다 트리는 항상 균형잡혀야 한다는 점을 명심하세요 그 말은 동일한 개수의 리프가 각 가지에서 자라나야 합니다 그렇게 하기 위해서는 가지의 숫자를 최소공배수로 늘리기만 하면 됩니다 2와 3의 최소 공배수는 6 입니다 마지막으로 각 리프를 표시합니다 일반 동전은 이제 6개의 동일한 확률을 가지는 리프로 나뉩니다 3 개의 앞면과 3 개의 뒷면 치우친 동전은 2 개의 뒷면과 4 개의 앞면을 이렇게 가집니다 밥이 결과를 외치면 앞면 새로운 단서로 인해서 뒷면이 나오지 않았음을 알기 때문에 뒷면으로 향하는 가지를 제거할 수 있습니다 따라서 밥이 치우친 동전을 고르고 앞면이 나올 확률은 치우친 동전에서 4 개의 리프가 나올 수 있고 모든 가능한 리프로 나누면 4 나누기 10 혹은 40% 입니다 조건부 확률 문제는 언제나 베이즈 정리로 풀 수 있습니다 어떤 새로운 사건 B가 일어났을 경우 사건 A가 일어날 확률을 알 수 있습니다 잊어버리더라도 걱정하지 마세요 어떻게 트리와 가지 잘라내기를 하는지 알기만 하면 됩니다