조건부 확률과 독립성

확률에서, 한 사건이 다른 사건의 확률에 영향을 미치지 않을 때 두 사건은 독립이라고 합니다.

예를 들어, 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 $1/2$‍입니다. 화요일이라는 것을 알았다면 어떨까요? 앞면이 나올 확률이 바뀌나요? 물론 그렇지 않습니다. 화요일에 앞면이 나올 확률은 그대로 $1/2$‍입니다. 따라서 동전을 던져서 나온 결과와 화요일인 날은 서로 독립사건입니다. 화요일이라는 것을 아는 것은 앞면이 나올 확률을 변화시키지 않습니다.

모든 상황이 명백한 것은 아닙니다. 성별과 주로 쓰는 손(왼손잡이 vs 오른손잡이)은 어떨까요? 성별과 왼손잡이 여부는 완전히 독립사건인 것처럼 보입니다. 그러나 확률을 살펴보면, 사람들의 $10\mathrm{\%}$‍가 왼손잡이이지만, 남성의 $12\mathrm{\%}$‍가 왼손잡이입니다. 따라서 어떤 사람이 남성이라는 것은 왼손잡이일 확률을 높여주기 때문에, 이 사건들은 독립이 아닙니다.

확률을 가지고 독립성에 대해 판단하는 것이 주 개념입니다.

두 사건 A와 B는 $P(\text{A }|\text{ B})=P(\text{A})$‍이고 $P(\text{B }|\text{ A})=P(\text{B})$‍라면 독립입니다.

두 대학에서 최근 졸업생의 연봉에 대한 설문조사를 실시하였습니다. 다음 이원 도수분포표는 설문에 응답한 $300$‍명의 졸업생들의 응답 내용을 보여줍니다.

이 자료로부터 졸업생을 임의로 골랐다고 가정합니다.

조건부 확률을 이용하여 확인해 봅시다.

이전 예제와 같은 자료가 나와 있습니다:

이 자료로부터 졸업생을 임의로 골랐다고 가정합니다.

조건부 확률을 이용하여 확인해 봅시다.

현실을 바탕으로한 자료 집합에서 독립성을 확인할 때, 완전히 똑같은 확률을 얻기 힘듭니다. 우연히 일어나는 사건을 포함하지 않는 모든 실제 사건은 어느 정도 종속입니다.

연습문제에서, 종종 사건들은 독립이고 같은 자료를 바탕으로 시험합니다. 확률이 두드러지게 다르다면, 사건들이 독립이 아니라고 결론을 내립니다. 추리통계학에서 더 자세한 내용을 배울 것입니다.

마지막으로, 자료의 출처가 잘 설계된 실험이더라도 인과관계에 대한 결론을 내리지 않기를 바랍니다. 예제 2번에서, 출신 대학을 제외하고 두 대학의 졸업생 사이의 연봉 차이에 영향을 주는 어떤 다른 외부 변수들이 있는지 도전 삼아 생각해 보세요.