간단한 확률문제: 파란색이 아닌 구슬

확률 과목에서 두 개 정도 연습 문제를 풀어봅시다. 우리는 9개의 빨간 구슬 2개의 파란 구슬, 3개의 초록 구슬이 든 주머니를 가지고 있습니다. 무작위로 뽑아 파란색이 아닌 구슬을 꺼낼 확률은 얼마일까요? 이 주머니를 여기 그려볼게요. 이게 제 주머니 입니다. 우리는 이 주머니가 투명하다고 생각할 거에요. 꼭 꽃병같네요. 우리는 9개의 빨간 구슬을 가지고 있어요. 이 9개의 구슬을 그리겠습니다. 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉개의 빨간 구슬. 약간 주황색으로 보이긴하지만 어쨌든 그렸습니다. 2개의 파란 구슬들. 이제 우린 한 개, 두 개의 파란 구슬이 생겼어요. 그리고 우린 3개의 초록 구슬이 있죠. 3개의 초록 구슬들. 3개를 그려봅시다. 하나, 둘, 셋. 주머니에서 파란 색이 아닌 다른 구슬들을 꺼낼 확률은 무엇일까요? 우리는 이걸 모두 섞은 후에, 이것들 중 어떤 구슬이던 똑같은 확률로 뽑을 확률을 가지고 있어요. 여러분이 이에 대해 생각하는 법은 : 우리의 제약에 충족되는 가능한 경우들에 대한 분수는 과연 무엇일까? 입니다. 따라서 먼저 모든 가능한 경우를 생각해봅시다. 우리가 꺼낼 수 있는 구슬의 각기 다른 경우는 몇 가지나 될까요? 그건 바로 주머니 안에 있는 구슬의 총 개수입니다. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14개의 구슬들이 있지요. 따라서 이것이 가능한 경우의 수입니다. 그 다음 우리는 저 경우들중 얼마가 우리의 제약에 충족되는가를 생각해야해요. 14를 얻는 다른 방법은 9+2+3을 계산하는 것입니다. 그럼 몇 가지 경우가 우리의 제약에 충족되는걸까요. 그리고 우리의 제약이 주머니에서 파란색이 아닌 구슬을 꺼내는 것 이라는 사실을 잊지 마세요. 빨간 구슬이나 초록 구슬을 뽑는다고 생각하는 방법도 있어요. 다른 두색이 빨간색과 초록색이기 때문이지됴. 그럼 파란색이 아닌 구슬은 몇 개나 될까요? 이에 대해 생각하는 몇가지의 방법이 있어요. 총 14개의 구슬이 있고, 파란 구슬이 2개이므로 14 - 2, 즉 12개의 파란색이 아닌 구슬이 있다고 말할 수 있겠죠. 또는, 그냥 세는 방법도 있어요. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. 따라서 12개의 파란색이 아닌 구슬이 있죠. 따라서 이것이 파란색이 아닌 구슬의 수이네요. 모든 확률들 중 우리의 제약에 충족되는 확률들이라고 할 수 있어요. 그리고, 이것이 가장 단순화 시킨 것이 아니므로 2로 나눌 수 있는 12와 14를 우리가 단순화시키고 싶다면 2로 두 수,분자와 분모를 모두 나눠봅시다. 그럼 여러분은 7분의 6을 얻게 되요. 따라서 우리는 주머니에서 파란색이 아닌 구슬을 7분의 6의 확률로 꺼낼 수 있습니다. 다른 문제를 해보도록 하죠. 아래의 목록에서 숫자를 무작위로 고른다면, 그 숫자가 5의 배수일 확률은 얼마입니까? 다시 한번, 우리는 모든 경우 중 우리의 제약에 충족되는 확률이 얼마인가를 찾아야합니다. 그리고 우리의 제약은 5의 배수가 되는 것입니다. 그럼 모든 가능한 경우는 얼마일까요? 생각해봅시다. 총 경우의 수... 몇 개의 수가 있나요? 그건 우리가 뽑아야하는 숫자들의 개수와 같아요. 따라서 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12개네요. 12개의 경우가 있네요. 우리는 이 12개 중 어떤 것이든 같은 확률로 뽑을 수 있습니다. 이제, 이 12가지 숫자 중 어떤 것들이 5의 배수인가요? 이건 다른 색으로 해봅시다. 이제 5의 배수를 뽑을게요. 32는 5의 배수가 아니고, 49 또한 아닙니다. 55는 5의 배수네요. 우리는 그저 두자리에 5나 0이 있는 숫자들을 찾는 거에요. 55는 5의 배수이고, 30도 마찬가지에요. 6 곱하기 5죠. 55는 11 곱하기 5고요. 56은 아니고, 28도 아니에요. 이건 확실히 5 곱하기 10이고, 이건 8 곱하기 5이고, 이건 같은 수네요. 8곱하기 5. 따라서 이 모든 수들은 5의 배수에요. 45, 9 곱하기 5이고, 3은 5의 배수가 아니고요, 25는 확실하게 5 곱하기 5네요. 이제 모든 5의 배수에 동그라미쳤습니다. 따라서, 모든 경우 중 우리의 제약에 충족되는 5의 배수는 1,2,3,4,5,6,7 가지 경우에요. 따라서 7이 우리가 만든 제약에 들어가네요. 따라서 이 예제에서, 5의 배수를 찾을 확률은 7/12에요. 또다른 문제를 풀어봅시다. 한 원의 원주는 36파이입니다. 이걸 그려볼게요. 따라서 원은... 저거보다 더 깔끔한 원을 그릴 수 있어요. 어쨌든 원이 저렇다고 해봅시다. 그리고 이 원의 원주, 우리는 여기서 신중해야해요. 문제는 아주 흥미로운... 그러니까 원주는 36파이에요. 그리고 이 원이 면적이 16파이인 더 작은 원을 포함하고 있다고 해요. 따라서 우리는 큰 원안에 더 작은 원을 가지고 있는거죠. 여기있는 이 원의 면적이 16파이라고 해요. 중심은 큰 원안에서 무작위로 결정되므로, 우리는 이 큰 원안에서 무작위로 중심을 결정하면 됩니다. 이 중심이 작은 원안에도 자리하고 있을 확률은 몇인가요? 좀 흥미로운 부분이 있네요. 두 원안에서 찾을 수 있는 중심은 무한대여서 그래요. 왜냐하면 이런 경우는 첫번째 예제에서 본 서로 떨어진 공이나 구슬 또는 분리된 수가 아니니까요. 여기서 선택할 수 있는 중심의 수는 사실상 무한대이기 떄문에, 두 원에 모두 포함되어있는 중심의 확률을 논할 때, 큰 원과 작은 원 모두에 있는 중심의 정도을 생각하면 됩니다. 다른 방법을 생각해보면, 우리가 큰 원에서 중심을 결정했을 때, 그 확률이 작은 원에서 생길 확률은 큰 원이 작은 원일 때의 퍼센트와 같을 것입니다. 혼란스럽게 들릴 수 있겠지만, 우리는 정말 그저 그 두 원의 공통된 면적을 파악해내면 됩니다. 이건 비율로 나타날 거에요. 그럼 생각해봅시다. 여기 있는 36파이를 그냥 사용하고 싶은 충동이 들지만, 이건 원주이고 두 원의 공통면적을 찾아야한다는 사실을 잊어서는 안됩니다. 면적이 파이 곱하기 반지름의 제곱이므로, 우리는 반지름을 알아야해요. 우리는 언급된 원주를 통해 반지름을 알 수 있죠. 원주는 2 곱하기 파이 곱하기 원의 반지름과 같아요. 원주라고 언급된 36파이가 2 곱하기 파이 곱하기 반지름과 같으므로 양 변을 2파이로 나누면, 좌변은 36 나누기 2는 18. 파이가 없어지고요. 우리는 큰 원의 반지름이 18과 같다는 걸 알 수 있어요. 이 큰 원은 반지름이 18입니다. 이 원의 면적을 구하면, 이 원의 면적은 파이 곱하기 반지름의 제곱이에요. 파이 곱하기 18의 제곱과 같죠. 18의 제곱을 구해봅시다. 18 곱하기 18 8 곱하기 8은 64, 8 곱하기 1은 8, 그 값에 더하기 6은 14이고, 우리는 저 0을 놓아야만 해요. 왜냐하면 10의 자리수에 있는 게 아니기 때문이에요. 1 곱하기 8은 8. 1 곱하기 1은 1. 그리고 확실히 이건 10 곱하기 10, 우리가 100을 갖게 되죠. 어쨌든 4 더하기 0은 4. 4 더하기 8은 12. 그리고 1 더하기 1 더하기 1은 3. 따라서 324가 나와요. 그렇게하여 원의 면적은 파이 곱하기 324, 혹은 324파이에요. 따라서 노란색으로 칠한, 주황색 원 아래를 포함한 큰 원의 전체 면적은, 여기 이 면적은 324파이와 같습니다. 따라서 큰 원에서 고른 중심이 작은 원에도 있을 확률은 큰 원이 작은 원과 겹치는 부분의 정도를 구하는 겁니다. 따라서 우리가 구한 확률은, 이렇게 쓰겠습니다. 작은 원에도 중심이 자리하고 있을 확률은 , 큰 원이 작은 원일 정도와 같습니다. 따라서 이는, 큰 원이 작은 원인 면적의 분수와 같아요. 16파이가 되겠죠. 분에, 324파이분에 16파이에요. 그리고 파이는 지워지고, 4로 지워질 수 있을 것 같네요. 두 수가 4로 지워질 수 있으므로, 분자를 4로 나누면 4가 나오고 분모를 4로 나누면: 4가 32를 8로, 4를 1로 나누므로 81이에요. 따라서 확률은, 확실히 그리지는 않았지만, 이 부분이 원래 훨씬 작아요. 큰 원안에서 무작위로 결정한 중심이 작은 원에도 있을 확률은 4/81입니다.