몬티 홀 문제

이번에는 몬티홀 문제에 대해서 전통적인 확률에 대해 공부해보죠 '몬티홀 문제'란 몬티 홀이라는 진행자가 '거래를 합시다'라는 게임 쇼를 진행하여 그렇게 불립니다 그들은 우리가 지금 다룰 몬티 홀 문제와 매우 유사한 상황을 설정합니다. 그럼 쇼에서 당신 앞에 3개의 커튼이 있다고 가정해 봅시다 당신은 참가자로 있고 여기 보여지는 문자가 당신 앞에는 3개의 커튼이 있습니다. 커튼 1, 커튼2 그리고 커튼 3 커튼 1, 커튼 2 그리고 커튼 3 그리고 당신은 이 3개의 커튼중 하나 뒤에 멋진 상품이 감춰져 있다고 들었습니다 당신이 정말로 원하는 좋은 자동차나 휴가 또는 많은 현금 등의 선물이죠. 다른 두 커튼 뒤에도 무엇이 있는지는 모르지만 당신이 그다지 원하지 않는 새로운 애완용 염소나 타조 또는 비치볼과 같이 현금만큼은 좋지 않은 물건들이 숨어 있을 것입니다 당신의 목표는 상금이 어디에 있는지 알아내는 것입니다 프로그램에서는 '어떤 것인지 맞혀보라' 또는 '어떤것을 선택할 것인가'라고 묻습니다 당신이 그 중 하나를 선택했다고 가정해 봅시다 1번 문, 또는 1번 커튼이라고도 할 수 있습니다 '몬티 홀과 거래를 합시다'의 제작진들이 조금 더 재미있게 해줄 것입니다 Monty Hall 제작진은 당신이 이겼는지 졌는지 알려주지 않고 당신에게 남은 두개의 문 혹은 커튼 중 하나를 보여줄 것입니다 아마도 상품이 없는 커튼을 골라 여러분에게 보여줄 것입니다 당신이 무엇을 선택하든지 거기엔 상품이 없는 커튼이 하나쯤은 언제나 있을 것입니다 당신이 잘 선택한다면 상품이 있는 2개의 커튼 중 하나를 고를수도 있지만 어쨌든 최소한 한 커튼 뒤에는 상품이 있지 않습니다 이제 그들은 당신에게 커튼을 열어 보여 줄 것입니다 제작진이 당신에게 3번째 커튼을 열어 보여준다고 가정합시다 세번째 커튼뒤에는 염소가 있습니다 그리고 그들은 당신에게 물어볼것 입니다 당신이 두번째 커튼을 선택할 것인지 여기서 궁금한 점은 과연 무슨 차이가 있느냐는 겁니다 그냥 마음을 바꾸지 않고 그대로 첫번째 커튼을 선택하는것이 나은건지 아니면 마음을 바꾸어서 남아 있는 다른 어떤 커튼을 선택하는것이 나은지 아니면 이거나 저거나 상관없는 건지 이는 무작위로 된 확률이어서 당신이 어떤것을 선택하던지 별로 차이가 나지 않 것이라고 생각할 것입니다 그런데 함정이 없다는 점이 이 퍼즐을 어렵게 만듭니다 자 이제 동영상을 정지하고 한번 생각해 봅시다 다음 동영상에서는 우리는 좀 더 깊이 있게 해결방법을 생각해보고 분석할 것 입니다 어떤 선택을 했는지에 따라 차이가 생기더라도 말입니다 자 이제 당신이 그것에 대하여 깊이 생각해 보았다고 가정하고 동영상을 다시 시작해봅시다 아마도 당신은 당신의 의견이 있을 겁니다. 자 이제 어디서부터 시작 해볼까요 일단 동영상을 일시 중지하고 제가 이미 얘기한것에 대해 몇가지 추론을 가정해 봅시다 그럼 쇼의 관점에서 게임쇼에 대하여 생각해 봅시다 제작진은 이미 알고 있습니다 어디에 염소가 있고 어디에 염소가 없는지 그래서 문번호1 문번호2 , 문번호 3 그럼 상품은 바로 여기라고 가정해 봅시다 우리 상품은 자동차 입니다 우리 상품은 자동차이며 나머지 두 문 뒤에는 각각 염소가 즉 염소 두마리가 숨어 있습니다 이 상황에서 우리도 게임쇼처럼 해 보겠습니다 참가자들은 어디에 상품이 있는지를 모릅니다 우리는 이미 알고 있지요 참가자는 문 하나를 선택할 것 입니다 바로 여기 그러면 우리는 2번 문을 열 수 없습니다 자동차가 뒤에 있지 때문이지요 우리는 3번을 선택할 것입니다 그러면 이러한 경우 3번문을 열면 그 뒤에는 염소가 있을 것입니다 그러면 참가자는 다른 선택을 할 지도 모르지요 참가자가 2번 문을 선택하면 그러면 게임쇼에서 1번문이나 3번문을 열어 보여줄 수 있습니다 그런데 여기서 이해가 안되는 게 있습니다 선택을 바꿀 참가자가 3번 문을 고른 경우 1번 문을 열어서 보여주어야 합니다 왜냐하면 우리는 2번 문을 고를 수 없기 때문이죠 이 경우 참가자가 선택을 바꾼다는 것은 수긍이 됩니다 그럼 이제는 그걸 제쳐두고 우리는 2가지 전략의 가능성을 생각해봅시다 만일 당신이 바꾸지 않는다면 선택한 문을 바꾸지 않는다면 이 전략에 대해 생각할 다른 방법은 처음의 선택을 흔들리지 말고 계속 고수하는 것이죠 그 상황에서 당신의 선택이 이길 확률은 얼마일까요? 3개의 문이 있죠 각각의 문 뒤에는 상품들이 있습니다 즉 3가지 가능성이 있습니다 그 중 하나는 당신이 원하는 것이 있습니다 당신이 선택을 바꾸지 않는다면 그 상품을 획득할 확률은 3분의 1이죠 다시 말하면 당신이 게임에서 질 확률은 3가지 중 2가지가 있죠 그러므로 3분의 2이죠 그리고 그것들은 유일한 가능성이고 이것은 여기 있는 것에 더해지죠 처음의 선택을 바꾸지 않는다면 승률은 1/3이에요 이제 선택을 바꾸는 경우를 생각해 봅시다 당신이 선택을 늘 바꾼다고 가정해 봅시다 이것이 어떻게 될지 생각해 봅시다 당신이 이길 확률은 얼마나 될까요 그리고 우리가 이것을 생각하기 전에 당신이 항상 바꾼다면 당신이 어떻게 이길지 생각해 봅시다 만일 당신이 처음 잘못된 선택을 했다면 당신이 처음 잘못된 선택을 했다면 제작진은 이것을 당신에게 보여줄 것이므로 당신은 항상 바꿔야 합니다 그래서 당신이 1번 문을 골랐다면 그들은 3번 문을 보여 줄 거에요 당신은 바꾸겠지요! 만일 당신이 상품이 없는 3번 문을 골랐다면 제작진은 1번 문을 열어 보여줄 것이고 여러분은 또 바꾸겠지요! 만일 여러분이 잘못 고른 것을 바꾼다면 항상 이길 것입니다 자 여기 써 보겠습니다 이 통찰력은 사실 칸 아카데미가 운영하는 여름 캠프에 참가하는 중학생들 중 한 명에게서 나왔습니다 이것을 생각해 보는 환상적인 해결 방법이지요 만일 여러분이 잘못된 선택을 한다면, 1단계: 처음의 선택 즉 초기 선택이 틀리는 여러분이 상품이 없는 문 중의 하나를 고르고 2단계 : 여러분이 초기 선택을 항상 바꾼다면 여러분이 고른 문을 항상 바꾼다면 여러분은 차를 갖게 될 것입니다 왜냐하면 여러분이 처음에 상품이 없는 문을 선택하면 제작진은 상품이 없는 또 다른 문을 보여줘야 하는데 그때 여러분이 선택을 바꾼다면 결국 정답을 찾게 되는 것입니다 그러므로 여러분이 선택을 항상 바꾸면 이길 확률은 얼마일까요? 아마 여러분이 처음 잘못 골랐던 확률이 될 것입니다 그럼, 여러분이 처음 잘못 골랐던 확률은 얼마일까요? 처음에 잘못 고를 확률은 3개 중에 2개가 있습니다 그러므로 여러분이 상품을 고를, 즉 이길 확률은 2/3 입니다 여러분이 상품이 아닌 것을 선택할 확률은 2/3입니다 또 좋은 선택으로 바꿀 확률도 2/3 입니다 그렇다면 여러분이 잘못 고를 확률은 얼마일까요? 여러분이 선택을 항상 바꾼다면 여러분이 잘못된 선택을 할 확률은 얼마일까요? 자, 여러분이 지는 방법은 여러분이 제대로 선택하고 정확히 선택하고 2단계에서는 그들은 빈 것을 보여줄 것입니다 빈 것 둘 중 하나를 보여줄 것입니다 아니면 선물이 없는 문을 보여주겠지요 그리고 3단계에서 여러분은 다른 비어있는 다른 빈 문으로 바꿀것입니다 그러나 어떤 방법으로든, 여러분은 반드시 바꿀것입니다 그래서 여러분이 선택을 항상 바꿀 때 여러분이 질 수 있는 유일한 방법은 처음에 잘 고르는 것입니다 처음에 정확히 고를 확률은 얼마일까요? 1/3밖에 되지 않습니다 여러분이 여기서 보는 것은 가끔 직관에 어긋나지만, 그러나 이것은 왜 아닌지 말이 됩니다 여러분이 항상 초기 선택의 입장을 고수하면 이길 확률이 1/3이고, 항상 선택을 바꾼다면 2/3의 확률이 됩니다 다른 말로 표현하자면 여러분이 첫 선택을 할 때 상품이 있을 확률이 1/3이고 다른 문에 있을 확률은 2/3가 됩니다 그리고 제작진은 하나를 비울 것이므로 여러분이 선택을 바꿀 때 여러분은 2/3의 확률을 필수적으로 잡고 있습니다 그러므로 해결책을 구했습니다