확률의 덧셈법칙

저에게 주머니가 한 개 있습니다 그 주머니 안에 초록색 큐브를 넣으려고 하는데 우선 8개의 초록색 큐브를 넣겠습니다 또, 그 주머니 안에 공도 몇 개 넣을게요 9개의 초록색 공을 넣겠습니다 이번에는 주머니 안에 노란색 큐브도 넣을 건데 5개의 노란색 큐브를 넣겠습니다 노란색 공도 넣어 볼까요 7개의 노란색 공을 넣는다고 해 봅시다 이 모든 것을 주머니에 넣고 섞은 후 안에 있는 것을 꺼내어서 첫 번째로 나오는 물건을 살펴보려고 합니다 이 영상에서 생각해 보고 싶은 문제는 다음과 같습니다: 다른 종류의 물건을 얻게 되는 확률은 얼마일까? 예를 들어, 큐브를 얻게 되는 확률은 얼마일까요? 색깔에 관계없이 큐브를 얻게 되는 확률은 얼마일까요? 이 문제를 생각해 보기 위해서 우리는- 이 문제를 푸는 방법 중 하나이지요- 우선 이 주머니 속에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 얼마일까요? 8 더하기 9는 17이고, 17 더하기 5은 22, 22 더하기 7은 29네요 즉 이 주머니 안에는 29개의 물건이 들어 있습니다 계산이 맞나요? 네, 29개가 맞네요 그렇다면 이 경우의 수를 나타내어 봅시다 음, 이 커다란 공간 안에 표현해 볼게요 이 공간이 물건의 전체 개수를 나타냅니다 이 공간이 물건의 전체 개수를 나타냅니다 29개의 물건이 나올 수 있겠지요 제가 하려는, 주머니 속에서 어떤 물건이 나올지 살펴보는 실험에서 총 29개의 결과가 나올 수 있다는 뜻입니다 맨 처음 꺼낸 물건이 공일 가능성과 큐브일 가능성이 같다고 가정하면 큐브가 될 수 있는 물건은 몇 개일까요? 아까 8개의 초록색 큐브와 5개의 노란색 큐브를 넣었다고 했는데 그렇다면 13개의 큐브가 있겠군요 이 공간 안에 큐브의 집합을 그려 넣겠습니다 13개의 큐브가 있네요 이렇게 그려 보겠습니다 13개의 큐브가 있네요 이것은 큐브의 집합입니다 정확하게 그리는 것은 아니고 어림짐작으로 그리고 있다는 것을 참고하세요 이것이 모든 큐브의 집합을 나타내고 있습니다 그렇다면 큐브를 얻게 될 확률을 구해 보겠습니다 조건에 맞는 경우의 수를 살펴보면 첫 번째로 나올 가능성이 같은 13개의 큐브가 있으니 13개이겠군요 이를 전체 경우의 수, 즉 29로 나누어 주면 됩니다 전체 경우의 수는 공과 큐브를 모두 포함하고 있지요 이번에는 다른 질문을 던져 보겠습니다 노란색 물건을 얻게 될 확률은 얼마일까요? 큐브든 공이든 상관없이 노란색 물건 말이죠 다시, 우리의 조건을 만족하는 물건의 개수는 몇 개인가요? 5 더하기 7이니 주머니 안에는 12개의 노란 물건이 있군요 거기에 29개의 전체 경우의 수가 있으니- 같은 색깔로 나타내어 볼게요- 29개의 전체 경우의 수가 있고, 그 중에 12개가 조건에 맞는군요 그렇다면 12개를 이렇게 나타내어 보겠습니다 그림을 그려 보자면- 노란색 물건 12개의 집합이 되겠군요 노란색 물건은 12개가 있습니다 문제의 조건에 맞는 12개 나누기 전체 경우의 수인 29개가 확률이 됩니다 자, 큐브를 얻는 확률은 13/29입니다 노란색 물체를 얻는 확률은 12/29이고요 이 상태에서 조금 더 흥미로운 것을 해 보도록 하죠 이번에는- 노란색 큐브를 얻을 확률은 무엇일까요? 노란색으로 쓸 테니 색깔을 구분해서 보도록 하겠습니다 노란색이에요 그렇다면 노란색 큐브를 얻게 되는 확률은 얼마일까요? 그렇다면 노란색 큐브를 얻게 되는 확률은 얼마일까요? 다시 말하지만 29개의 전체 경우의 수가 있어요 29개의 물건이 모두 가능성이 같지요 그 29개 중에 5개만이 노란색 큐브에요 그 29개 중에 5개만이 노란색 큐브에요 5개만 노란색 큐브입니다 그러므로 확률은 5/29입니다 노란색 큐브가 차지하는 자리는 이 벤 다이어그램에서 어느 부분에 해당할까요? 벤 다이어그램은 다른 확률을 표현하는 방법 중 하나로 쓰였습니다 집합의 어느 부분이 겹치는지 생각해 보기 시작하면 아주 흥미롭죠 또는 겹치지 않는 부분도 고려해 볼 수 있겠지요 이 그림에서 노란색 집합의 원소인 물건들을 생각해 봅시다 즉 이 노란색 집합 안에 있지만 동시에 큐브인 거죠 이 부분이겠군요- 두 개의 집합이 겹치는 부분이니까요 이 부분입니다 이 부분은 노란색이면서 동시에 큐브인 물건들을 나타냅니다 왜냐하면 이 부분은 집합 두 개에 모두 포함되기 때문이지요 이 부분입니다 한 번 써 보겠습니다 노란색이면서 동시에 큐브인 물건은 5개가 있습니다 노란색이면서 동시에 큐브인 물건은 5개가 있습니다 그렇다면- 가장 흥미로운 질문 중 하나가 될 것 같군요- 노란색이거나 큐브인 물건을 얻게 될 확률은 얼마일까요? 노란색이거나 큐브인 물건을 얻게 될 확률은 얼마일까요? 노란색이거나 큐브인 물건을 얻게 될 확률은 얼마일까요? 이 때 큐브는 색깔에 관계없다는 점을 명심하세요 이 때 큐브는 색깔에 관계없다는 점을 명심하세요 노란색이거나 색깔에 관계없이 큐브를 얻게 될 확률을 구해 봅시다 위의 문제들과 같이 분모는 29일 것입니다 주머니에서 나올 수 있는 물건의 개수가 총 29개로 변함이 없기 때문이지요 그렇다면 이 중에서 문제의 조건에 맞는 경우의 수는 얼마일까요? 문제에 접근하는 방법 중 하나는 문제에 접근하는 방법 중 하나는 우선, 노란색이라는 조건을 만족하는 물건의 개수는 12개이지요 이 벤 다이어그램에서는 이 원 전체겠군요 노란색 조건에 맞는 것은 12개입니다 12개입니다 12개가 노란색인 물건의 개수이지요 여기에 큐브의 개수 전체를 더할 수는 없습니다 왜냐하면 무작정 큐브의 개수 전체를 더하면 이 부분의 5개를 이미 셌기 때문입니다 5개는 이미 12개의 부분으로 세었으니까요 여기서 한 가지 방법은 노란색인 물건 중에서 큐브가 아닌 물건은 7개가 있지요 그것들은 공일 것입니다 노란색 큐브는 5개이고요 그리고 노란색이 아닌 큐브는 8개가 있습니다 이것이 그 방법입니다 노란색인 물건의 개수인 12개를 셌다면 이 부분 전체를 센 것이 됩니다 그러니 여기에 무작정 큐브의 개수를 더할 수는 없습니다 왜냐하면 이 중간 부분을 다시 더하게 되기 때문이지요 그러므로 큐브의 개수를 세려면 큐브의 개수인 13개에서- -큐브의 개수는 13개이지요- -큐브의 개수는 13개이지요- -이 중간 부분을 빼야겠지요 한 번 해 봅시다 즉, 중간 부분을 빼주면 됩니다 -5 이게 노란색 큐브의 개수입니다 (노란색이라는 단어를 초록색으로 쓰니 좀 이상하군요) 노란색 큐브의 개수 또 다른 방법은, 우선 이것부터 계산해 볼까요- 12 더하기 13 빼기 5는...20이네요 맞게 계산했나요? 네, 20 맞군요 그것이 한 방법이었죠 20/29 이네요 하지만 여기에서 더 흥미로운 것은, 정답을 구하는 것보다 구한 정답을 확률의 연산으로 나타내는 것입니다 우리가 이 영상의 초반부에 구했던 확률로요 조금만 더 생각해 봅시다 구한 분수를 다른 방법으로 써 볼 수 있겠지요- 12/29 더하기 13/29 빼기 5/29 이것은 전체 경우의 수 분의 노란색 물건의 개수였습니다 즉 노란색 물건을 얻을 확률이라는 것입니다 이것은 전체 경우의 수 분의 큐브의 개수였습니다 더하기 큐브를 얻을 확률 큐브를 얻을 확률이 되겠군요 이것은 전체 경우의 수 분의 노란색 큐브의 개수였습니다 즉 이것은 빼기 노란색이면서 큐브인 물건을 얻을 확률 이런 식으로 써 볼 수 있겠군요 노란색이면서 큐브인 물건을 얻을 확률입니다 노란색이면서 큐브인 물건을 얻을 확률입니다 노란색이면서 큐브인 물건을 얻을 확률입니다 우리가 이렇게 써 놓은 것을 바탕으로 숫자를 넣어 보면 되겠네요 위에서 예로 들었던 수를 넣어 봐도 되고요 구체적인 예시를 알아보기 위해서 말이죠 하지만 이것은 충분히 일반화할 수 있습니다 만약 (어떤 조건 또는 또다른 조건)의 확률을 알고 있다면- -다시 써 보겠습니다- -그 확률은- 일반화해서 적어 보겠습니다 정말 흥미롭습니다 어떤 조건을 만족하는 확률, 즉 집합 A의 원소이거나 집합 B의 원소인 물건을 얻을 확률은 집합 A의 원소를 얻을 확률 더하기 집합 B의 원소를 얻을 확률 빼기 두 집합에 모두 포함되는 원소를 얻을 확률과 같습니다 빼기 두 집합에 모두 포함되는 원소를 얻을 확률과 같습니다 굉장히 유용한 식이고 이것은 확률의 덧셈정리라고도 불립니다 하지만 이것은 상식적으로 생각해도 이해할 수 있는 부분입니다 이 두 개의 확률을 무작정 더할 수 없는 이유는 이 둘이 겹치는 부분이 있을 수도 있기 때문입니다 두 조건을 동시에 만족할 확률이 있을 수 있다는 것이지요 그렇기 때문에 이 둘을 그냥 더하면 그 겹치는 확률을 두 번 더하는 셈이 되는 것이지요 앞에서 봤듯이 말이지요 그러므로 두 번 더해진 확률을 빼 주어야 두 번 세지 않게 되는 것입니다 조금 더 심화해서 보자면 가끔씩 겹치는 부분이 없는 확률이 있을 수 있습니다 이것이 모든 경우의 수를 나타내는 집합이라고 해 봅시다 이것이 모든 경우의 수를 나타내는 집합입니다 그리고 이 집합은 조건 A를 만족하는 집합입니다 그리고 이 집합은 조건 A를 만족하는 집합입니다 그리고- 다른 색깔로 해 보겠습니다- 이 집합은 조건 B를 만족하는 집합입니다 이 경우에는 겹치는 부분이 없지요 즉 동시에 집합 A와 집합 B의 원소인 것은 없다는 뜻이지요 이 경우에서는 A이면서 동시에 B일 확률은 0입니다 겹치는 부분이 없으니까요 이런 조건, 혹은 이런 상황을 만드는 두 사건을 상호 배타적인 사건이라고 부릅니다 상호 배타적인 사건이라고 부릅니다 만일 사건이 서로 상호 배타적이라고 하면 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻입니다 즉, 두 조건을 동시에 만족하는 사건이 없다는 것입니다 그리고 만일 사건이 서로 상호 배타적이라면 A 또는 B를 만족할 확률을 A를 만족할 확률 더하기 B를 만족할 확률로 나타낼 수 있습니다 왜냐하면 이 부분이 0이기 때문이지요 하지만 사건이 서로 상호 배타적이지 않다면 겹치는 부분을 빼 주어야겠지요 그러므로 이것을 생각하는 가장 쉽고 좋은 방법은 어떤 상황이든 겹치는 부분을 빼 주어야 한다는 것을 기억하고 당연히 사건이 상호 배타적인 상황에는 A이면서 동시에 B를 만족할 확률은 0이 됩니다