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경험법칙과 z-점수 연습 문제 (ck12.org 에서 인용)

동영상 대본

연습을 더 한다고 문제될 건 없죠 ck12.org AP 통계학에 대한 FlexBook의 정규분포 문제 5번입니다 ck12.org AP 통계학에 대한 FlexBook의 정규분포 문제 5번입니다 문제는 2007년 AP 통계학 시험 점수가 정규분포가 아니었고 평균이 2.8이었으며 표준편차는 1.34였다고 합니다 CollegeBoard에서 가져온 자료도 있는데 그건 붙여넣지 않았습니다 z-값의 어림값은 얼마일까요? z-값은 평균으로부터 표준편차 몇 배 떨어져 있는지 나타내는 척도입니다 시험 점수가 5점일때의 Z 값은 어떻게 될까요? 시험 점수가 5점일때의 Z 값은 어떻게 될까요? 이 문제는 간단한 문제네요 이 문제를 풀려면 5가 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지만 알면 되겠네요 5 - 2.8을 해야겠죠? 평균은 2.8이니까요 평균은 2.8이니까요 문제에 나와 있습니다 계산할 필요도 없어요 평균은 2.8이고 5 - 2.8은 2.2이죠 평균으로부터 2.2만큼 위에 있어요 그리고 표준편차를 기준으로 하려면 표준편차로 나누어 주면 됩니다 1.34로 나눕시다 1.34로 나눕시다 계산기를 사용해서 해야겠네요 2.2를 1.34로 나눈 값은 1.64입니다 계산한 값은 1.64입니다 그러면 답은 C가 되겠네요 간단한 문제였죠? 이 문제는 점수를 5점 맞았을 때 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 알면 풀 수 있는 문제였어요 그리고 여러분은 이 동영상으로 공부를 하고 AP 시험에서 5점을 받겠죠 표준편차로 나누어 5점이 평균으로부터 표준편차 몇 배 떨어져 있는지 알 수 있었습니다 5점이 평균으로부터 표준편차 몇 배 떨어져 있는지 알 수 있었습니다 그 값은 1.64이고요 여기서 가장 헷갈릴 수 있는 답은 분포가 정규분포가 아니어서 Z-점수를 구할 수 없다고 하는 E일 것 같아요 E일 것 같아요 지금까지 z-점수를 정규분포에서만 사용해왔기 때문에 지금까지 z-점수를 정규분포에서만 사용해왔기 때문에 정규분포에서만 쓸 수 있다고 생각할 수도 있어요 하지만 z-점수는 평균으로부터의 편차가 어떻게 되는지를 나타내는 척도이므로 어떤 분포이든간에 평균과 표준편차를 구할 수 있다면 사용할 수 있어요 어떤 분포이든간에 평균과 표준편차를 구할 수 있다면 사용할 수 있어요 그래서 E는 정답이 아닙니다 Z-점수는 표준분포가 아닌 분포에도 사용할 수 있어서 정답은 C입니다 이번 기회에 확실히 알게 되었다면 좋겠네요 첫 문제가 좀 짧지 않았나요? 다른 문제를 더 풀어봅시다 문제 6번을 봅시다 미국의 5학년 남학생의 키는 정규분포를 따르며 미국의 5학년 남학생의 키는 정규분포를 따르며 평균 키는 143.5 cm라고 합니다 평균 키는 143.5 cm라고 합니다 평균은 143.5 cm이고 표준편차는 7.1 cm라고 합니다 표준편차는 7.1 cm라고 합니다 임의로 고른 5학년 남학생의 키가 157.7보다 클 확률은 어떻게 될까요? 임의로 고른 5학년 남학생의 키가 157.7보다 클 확률은 어떻게 될까요? 지금까지 풀어봤던 문제처럼 분포를 그려봅시다 지금까지 풀어봤던 문제처럼 분포를 그려봅시다 질문이 한 개 뿐이니까 잘 그려 볼게요 정규분포는 이렇고요 평균은 이곳으로 143.5 cm라고 나와 있습니다 그리고 157.7cm보다 더 큰 경우를 물어보았어요 그러면 오른쪽 방향을 보아야겠습니다 평균으로부터 표준편차 1배 위는 이부분이 되겠습니다 평균에서 표준편차인 7.1을 더해주면 됩니다 7.1만큼 올라갑니다 143.5 + 7.1은 얼마이죠? 150.6입니다 이 부분이 표준편차 1배입니다 표준편차 하나를 더 가면 7.1을 한번 더 더해주면 됩니다 150.6 +7.1은 157.7로 문제에서 주어진 것과 일치하는 값입니다 문제에서 주어진 것과 일치하는 값입니다 이 값보다 더 클 때의 확률을 구하면 됩니다 이 값보다 더 클 때의 확률을 구하면 됩니다 이 부분의 확률을 구하는 것이죠 이 부분의 확률을 구하는 것이죠 평균으로부터 표준편차 2배 떨어진 값이기도 합니다 평균으로부터 표준편차 2배 떨어진 값이기도 합니다 표준편차 2배 위라고도 할 수 있죠 여기 있는 이 부분은 계산하면 안됩니다 그래서 경험법칙을 사용해야 합니다 왼쪽에도 똑같이 표시해보면 이 부분은 표준편차 1배 이 부분은 표준편차 2배입니다 이 부분의 넓이는 알고 있어요 다른 색으로 하죠 표준편차 2배 내인 이 부분의 넓이는 알고 있습니다 표준편차 2배 내인 이 부분의 넓이는 알고 있습니다 경험법칙에 의해서죠 또는 68, 95, 99.7 규칙이라고도 해요 이 규칙에 의해서 이 부분은 표준편차 2배 안이기 때문에 95퍼센트 즉 0.95라는 것을 알 수 있어요 또는 정규분포의 95%에 해당하는 부분이라고도 할 수 있고요 따라서 구하고자 하는 이 꼬리와 나머지 꼬리를 더하면 합쳐서 5%가 됩니다 이 두 개를 합치면 5%가 됩니다 대칭이기 때문이죠 전에도 다룬 적이 있었어요 이 내용은 다른 문제를 풀 때 한 것과 중복됩니다 이 내용은 다른 문제를 풀 때 한 것과 중복됩니다 이 두 개가 더해지면 5%니까 각각은 2.5%에요 각각은 2.5%에요 문제였던 임의로 고른 5학년 남학생의 키가 문제였던 임의로 고른 5학년 남학생의 키가 157.7 cm보다 클 확률을 구할 수 있겠네요 정답은 오른쪽 아래에 초록색으로 색칠된 부분이에요 정답은 오른쪽 아래에 초록색으로 색칠된 부분이에요 다른 색으로 표시해 볼게요 이 자주색 부분 지금 색칠하고 있는 부분이 문제의 정답입니다 답은 2.5%입니다 임의로 5학년 남학생을 골랐을 때 157.7cm보다 클 확률은 2.5%입니다 임의로 5학년 남학생을 골랐을 때 157.7cm보다 클 확률은 2.5%입니다 이 평균과 표준편차의 값과 정규분포임을 가정했을 때 말이죠 이 평균과 표준편차의 값과 정규분포임을 가정했을 때 말이죠