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표준정규분포와 경험법칙 (ck12.org)

동영상 대본

ck12.org AP 통계학에 대한 FlexBook의 정규분포 문제 4번입니다 ck12.org AP 통계학에 대한 FlexBook의 정규분포 문제 4번입니다 그 웹 사이트에서 무료로 다운받을 수 있어요 그 웹 사이트에서 무료로 다운받을 수 있어요 제 생각에 4번 문제는 아주 좋은 것 같아요 제 생각에 4번 문제는 아주 좋은 것 같아요 표준정규분포 상에서 다음을 크기 순서로 나열해 보세요 1, -1보다 작은 값의 백분율이 있네요 1, -1보다 작은 값의 백분율이 있네요 표준정규분포를 그려볼까요? 표준정규분포는 평균값이 미안해요 이건 표준편차죠 μ는 평균을 나타냅니다 평균이 0이고 표준편차는 1입니다 표준정규분포를 그려볼게요 축을 이렇게 그리고요 종모양으로 멋지게 그려지나 볼까요? 종 곡선을 그려줍니다 종 곡선을 그려줍니다 이게 표준정규분포입니다 평균은 중심점에 있습니다 치우친 모양이 아니예요 평균은 0이 됩니다 표준편차는 1이고요 오른쪽으로 표준편차의 1배를 가면 1이 되는 거죠 표준편차의 2배를 가면 2 3배를 가면 3입니다 왼쪽으로 표준편차의 1배를 가면 -1이 되죠 왼쪽으로 표준편차의 2배를 가면 -2가 되는 그런 식이죠 왼쪽으로 표준편차의 2배를 가면 -2가 되는 그런 식이죠 -3은 왼쪽으로 표준편차 3배가 되겠죠 표준편차가 1이니까요 보기를 살펴봅시다 1 이하의 백분율은 얼마인가요? a는 여기입니다 a는 여기입니다 1 이하는 모두 중앙 쪽만이 아니라 계속 가죠 1 이하의 백분율이요 이건 경험법칙을 사용하는 경우 중 하나입니다 이건 경험법칙을 사용하는 경우 중 하나입니다 이건 경험법칙을 사용하는 경우 중 하나입니다 연습해서 나쁠 게 없어요 경험법칙을 기억하는 더 나은 방법은 경험법칙의 68, 95, 99법칙을 기억하는 거예요 더 나은 방법이라고 하는 이유는 공식을 주기 때문이에요 이 숫자들은 그냥 외우면 돼요 계산기나 정규분포표가 있으면 외우지 않아도 되지만 가끔 수업에서 비율을 어림잡아 볼 때 암산으로 사람들을 놀라게 할 수 있어요 경험법칙으로 답을 찾을 수 있나 볼까요? 종 곡선아래에서 꼭대기까지 1의 왼쪽 다를 말해요 종 곡선 아래에서 꼭대기까지 1의 왼쪽 다를 말해요 경험법칙에 따르면 이 중간부분은 왼쪽으로 표준편차 1배와 오른쪽으로 표준편차 1배 사이로 68%를 차지합니다 지난 동영상에서도 봤죠 경험법칙에 따르면 그렇습니다 이게 68%면, 지난 동영상에서 봤지만 나머지를 다 합했을 때 1, 그러니까 100%가 돼요 그려볼게요 이쪽과 이쪽을 합하는 거죠 여기에 68을 더하면 1, 100%가 됩니다 이 둘을 합하면 32%가 됩니다 32+68=100이니까요 그런데 이건 대칭입니다 이 두 부분은 정확히 같죠 그러니까 합해서 32면, 여기는 16% 여기도 16%인 것입니다 문제에서는 1보다 작은 부분의 전체를 찾고 있습니다 문제에서는 1보다 작은 부분의 전체를 찾고 있습니다 문제에서는 1보다 작은 부분의 전체를 찾고 있습니다 1이하인 백분율 말입니다 그러니까 이 왼쪽 부분 다요 여기는 68%이고 여기는 68%이고 표준편차의 1배 안 면적이고요 거기에 여기 왼쪽을 합한 것입니다 68+16은 얼마인가요? 84%입니다 보기 a는 84%입니다 마지막에는 순서대로 나열해야 하지만 계산하는 게 어려운 것이니까 일단 풀어 봅시다 계산하는 게 어려운 것이니까 일단 풀어 봅시다 답을 알면 나열은 쉽죠 보기 b는 -1 이하의 백분율입니다 -1은 여기죠 이쪽 부분을 알아보라는 것입니다 바로 여기 -1 이하의 값 16%가 되겠네요 방금 계산했었죠 이건 경험 법칙을 몰라도 알 수 있었을 것입니다 정규분포를 살펴보기만 하면 보기 b에 해당하는 면적은 보기 a의 부분집합입니다 그러니까 더 적은 수겠죠 그냥 순서만 맞춘다고 하면 그렇게 알 수 있습니다 그래도 경험법칙을 연습하는 것은 좋습니다 보기 c는 평균입니다 제일 쉽네요 표준정규분포의 평균은 정의에 따라 0이죠 c는 0입니다 d는 표준편차입니다 표준정규분포의 정의에 따라 표준편차는 1이죠 표준편차는 1이죠 생각보다 쉽네요 e는 2 이상의 백분율입니다 e는 2 이상의 백분율입니다 68, 95, 99.7 공식을 알고 있으니까 표준편차 2배의 값을 알려고 하면 표준편차 2배의 값을 알려고 하면 다른 색으로 할게요 다른 색으로 할게요 더 화려한 색으로 할게요 초록색이요 이 점에서 이 점까지를 보면 표준편차 2배 안에 있는 거죠 여기는 표준편차의 1배이고 표준편차의 2배 안을 보면 경험법칙에 의해 여기 전체 영역은 95%입니다 표준편차 2배 안은 95%입니다 그럼 나머지를 모두 합하면 이 노란 영역 바로 여기와 여기요 그럼 어느 방향이던 표준편차 2배의 밖은 나머지가 됩니다 표준편차 2배 안은 95%니까 표준편차 2배 안은 95%니까 이 꼬리와 이 꼬리를 합하면 5%가 되겠죠 표준편차 2배의 왼쪽과 오른쪽이요 표준편차 2배의 왼쪽과 오른쪽이요 이전에 얘기했듯이 모두 대칭이에요 이 둘은 같아요 그러니까 여기는 2.5%고 바로 여기도 2.5%죠 2 이상의 백분율을 묻고 있으니까 이쪽 꼬리만 계산해야 합니다 평균에서 표준편차 2배 이상 값의 백분율은 평균에서 표준편차 2배 이상 값의 백분율은 2.5%입니다 어두운 색으로 해 볼게요 2.5%입니다 어두운 색으로 해 볼게요 2.5%입니다 문제는 크기대로 나열하라고 했는데 문제는 크기대로 나열하라고 했는데 약간 애매한 게 생기네요 1 이하의 백분율이라고 하면 보기 a의 답은 84%라고 해야 하는 것일까요? 보기 a의 답은 84%라고 해야 하는 것일까요? 1 이하를 소수로 나타내라고 했다면 0.84라고 했을 것입니다 해석에 따라 다를 수 있어요 여기도 마찬가지죠 -1 이하의 백분율은 -1 이하의 백분율은 16이라고 답할 수 있습니다 -1 이하의 백분율은 16이라고 답할 수 있습니다 하지만 실제 수치인 소수로 나타내라고 했다면 0.16이라고 해야겠죠 순서를 어떻게 할지가 달라질 수 있어요 마찬가지로 백분율을 묻는다면 2.5라고 해야겠죠 실제 수치는 0.025예요 실제 소수는 그렇죠 이건 순서를 나열하는 거니까 여기 너무 집착할 필요는 없어요 소수점으로 한다고 합시다 이렇게 한다면 최소에서 최대로 하면 최소값은 c이고요 0이죠 그 다음 작은 값은 e인 0.025죠 다음은 b로 0.16이에요 그리고 다음은 0.84고요 가장 큰 값은 d인 표준편차네요 정답은 cebad입니다 이 순서는 달라질 수 있습니다 0.84라고 하지 않고 백분율을 물었으니까 84라고 하면요 약간 헷갈리네요 시험볼 때 이런 문제가 있으면 선생님께 확실히 물어 볼 거예요 이게 도움이 됐으면 좋겠습니다