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표준정규분포표 내 특정 값 이상으로 존재하는 자료의 비율

동영상 대본

철학 시험 점수의 집합은 정규분포이고 40점의 평균값을 가지고 있으며 표준편차는 3점입니다 루드윅은 시험에서 47.5점을 받았습니다 루드윅보다 높은 점수를 받은 학생들의 비율은 얼마일까요? 답은 소수 다섯째 자리에서 반올림하여 나타네세요 현재 상황을 시각화해 봅시다 점수들은 정규적으로 분포되어있습니다 이렇게 생겼겠네요 그리하여 분포는 이렇게 생겼을 것이고 최대한 대칭이 되도록 그리겠습니다 평균값은 40점이므로 여기가 40점일 것입니다 표준편차는 3점입니다 여기가 평균으로부터 표준편차 하나 위이고 여기가 평균으로부터 표준편차 하나 아래라고 합시다 다시 한 번 말하지만 이것은 어림해 그리는 것입니다 이것이 43일 것이고 이것이 47일 것입니다 루드윅이 47.5점을 받았다 말합니다 루드윅의 점수는 여기쯤이겠네요 루드윅은 47.5점을 받았습니다 문제는 루드윅보다 높은 점수를 받은 학생들의 비율을 묻고 있습니다 알아봐야 할 것은 47.5보다 높은 정규분포 곡선 아래 넓이가 무엇이냐 하는 것입니다 47.5보다 높은 정규분포 곡선 아래 넓이가 무엇이냐 하는 것입니다 이 문제를 푸는 방법은 47.5의 z-점수를 계산하는 것입니다 평균값보다 표준편차 몇 배 더 높은지 알아보는 것이죠 그 후 표준정규분포표를 보고 그 수보다 낮은 값들의 비율을 알아낼 것입니다 표준정규분포표가 그러니까요 주어진 z-점수보다 낮은 값들의 비율을 알려줍니다 그리고 1에서 구한 비율을 빼면 그 숫자보다 높은 값들의 비율을 알 수 있죠 기억해야 하는 것은 곡선 밑의 총 넓이는 1이므로 이 주황색 넓이를 알아내어 그 넓이를 1에서 빼면 이 빨간색 넓이가 나온다는 것입니다 해 봅시다 우선 첫 번째로 47.5의 z-점수를 계산합시다 봐보죠 47.5에서 평균값을 뺍시다 이것이 점수이고 평균값인 40을 뺍시다 알다시피 7.5가 될 것입니다 평균값보다 이만큼 크네요 하지만 표준편차로는 몇 개가 차이날까요? 각 표준편차는 3이므로 7.5를 3으로 나눈 것은 얼마일까요? 이전 답을 3으로 나눈다는 뜻입니다 평균값보다 표준편차 2.5배만큼 큽니다 그리하여 z-점수는 양수인 2.5가 되죠 평균값보다 낮았다면 음수가 됩니다 이제 표준정규분포표를 보고 평균값보다 표준편차 2.5배 높은 값보다 아래에 있는 값들의 비율을 찾아 봅시다 평균값보다 표준편차 2.5배 높은 값보다 아래에 있는 값들의 비율을 찾아 봅시다 그리고 그 값을 1에서 빼면 주황색 넓이를 주겠죠 표를 봅시다 표를 봅시다 이미 전 동영상들에서 해봤지만 왼쪽 행은 z-점수를 소수 첫째 자리까지 나타냅니다 그리고 각 열은 소수 둘째 자리를 나타내죠 그래서 여기 왼쪽에서 2.5를 찾으면 됩니다 그래서 여기 왼쪽에서 2.5를 찾으면 됩니다 정확히 말하자면 2.50이죠 소수 둘째 자리는 0입니다 2.50을 찾아야 합니다 표를 내려보죠 2.5까지 가봅시다 찾은 것 같네요 2.5는 여기 있으니 이 행에서 이제 보이지 않지만 이 첫 번째 열이 두 번째 소수점이 0인 경우를 나타냅니다 그리하여 2.50은 이것이 되네요 여기서 잘못하면 이 비율이 루드윅보다 높은 점수를 받은 비율이라 할 수 있습니다 하지만 그것은 틀렸습니다 이것은 루드윅보다 낮은 점수를 받은 학생들의 비율입니다 그리하여 이 값을 1에서 빼야합니다 다시 계산기를 사용하죠 여기서 할 것은 이것을 1에서 빼는 것입니다 1 - 0.9938은 1 - 0.9938은 이것은 루드윅보다 낮은 점수를 받은 학생들의 비율입니다 1에서 이것을 빼면 루드윅보다 높은 점수를 받은 비율입니다 이 절차를 사용해야 하는 이유는 표준정규분포표는 주어진 z-점수보다 낮은 값들의 비율을 주기 때문입니다 그러면 0.0062가 나옵니다 찾던 비율이 이것입니다 백분율로 생각한다면 0.62%가 루드윅의 점수보다 높습니다 말이 됩니다 루드윅은 평균값보다 표준편차의 2.5배 높은 점수를 받았기 때문이죠 그리하여 답은 0.0062입니다 그리하여 답은 0.0062입니다 그것이 루드윅보다 높은 점수를 받은 학생들의 비율입니다 그것이 루드윅보다 높은 점수를 받은 학생들의 비율입니다