공정하게 고르기

한 마술사가 생일 파티에서 15명의 어린이들에게 공연을 합니다 조수 하나를 뽑는데 모든 아이들이 같은 확률로 뽑히게 하고 싶습니다 세 가지 방법이 있습니다 각각의 방법이 아이들에게 동등한 확률을 부여하는지를 한번 생각해 봅시다 만약 아이들이 같은 확률로 뽑히지 않는다면 왜 그런지 생각해 봅시다 방법 1에서는 마술사가 생일인 친구를 시작으로 시계방향으로 돌면서 1부터 100까지가 적힌 종이를 모두에게 분배되도록 나누어 줍니다 그리고 마술사 1부터 100까지의 수 중에서 임의의 수를 뽑는 기계로 숫자를 뽑은 뒤 그 숫자를 가진 사람을 조수로 삼습니다 한번 생각해 봅시다 한 원에 15명의 아이들이 있고 거긴 하나, 둘, 셋, 넷, ... ..여덟, ...열, ...열다섯 좀 잘 그린 것 같습니다 솔직히 15개가 안 들어갈 줄 알았는데 잘 그려졌네요 15명의 아이들이 한 원에 있고 이제 마술사가 종이를 건넬 겁니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 14, 15의 번호를 줍니다 이 아이는 1과 16을 받고 이 아이는 2와 17을 가지게 됩니다 마술사는 돌고 돌아서 100장을 다 줄 때까지 돌 겁니다 이제, 여기서 생각해 보아야 할 것은 과연 모든 아이들이 같은 개수의 종이를 받을 것인가입니다 이 동영상을 잠시 중지하고 한번 생각해 보세요 만약 돌아가면서 100장을 준다면 모든 아이들이 같은 수의 종이를 받을 수 있을까요? 같은 수의 종이를 받으면 한 사람당 100÷15를 받는 것인데 이는 나누어 떨어지지 않습니다 15는 100에 6번 들어가고 15x6은 90 나머지는 10입니다 그래서 모든 15명의 아이들은 각각 6장의 종이를 받고 15명의 아이들 중 10명은 7장의 종이를 가지게 될 것입니다 따라서 모든 아이들이 같은 수의 종이를 받지 않는다는 얘기입니다 아무리 1부터 100까지 임의의 수를 생성한다고 해도 어떤 아이들은 더 많은 확률을 부여받은 셈입니다 7장의 종이를 가진 10명의 아이들은 그렇지 않고 6장의 종이를 가진 5명의 아이들보다 더 큰 확률을 부여받습니다 그래서 저는 방법 1이 불공평하다고 말하겠습니다 공평하지 않습니다 삶이란게 가끔씩 불공평하지만 이 상황에서 공평하다는 것은 선택될 확률이 같다는 것을 의미합니다 아이들이 각각 다른 개수의 종이를 받았기 때문입니다 각각의 아이들이 뽑힐 확률은 같지 않습니다 방법 2를 살펴봅시다 마술사가 생일인 아이부터 시작해서 반시계 방향으로 1부터 75까지 적힌 75개의 종이를 나눠 줍니다 모든 종이가 없어질 때까지 고르게 나눠준 뒤 임의의 수를 뽑는 기계로 1부터 75 사이의 수들 중 하나를 뽑고 그 숫자를 가진 사람을 조수로 뽑습니다 다시 한 번 이 동영상을 멈춘 뒤 방법 2가 공평한지 생각해 보세요 사실 방법 2는 방법 1과 종이를 100개 대신 75개를 사용하는 것 말고는 별 다른 게 없는 것 같습니다 한 번 생각해 봅시다 75는 15로 나누어 떨어질까요? 75는 15x5이니까 그렇습니다 이 상황에서는 모든 아이들이 각각 5장을 받을 수 있습니다 각각 5장을 받을 수 있습니다 뽑힐 확률을 고르게 부여받은 셈이고 마술사가 임의로 숫자를 뽑으니까 모두 같은 확률을 부여받습니다 저는 방법 2가 공평하다고 하겠습니다 모두 뽑힐 확률이 같으니까 말입니다 이제 세 번째 방법을 생각해 봅시다 마술사가 생일인 아이부터 시작해서 시계방향으로 1부터 30까지 적힌 종이를 나누어 줍니다 모두 같은 개수의 종이를 받습니다 두 장씩 받죠 15명의 아이들이 두 장씩 받으면 30장이니까요 여기까진 상당히 공평해 보입니다 마술사가 다 나누어 줄 때까지 원을 돌면 모두가 2장을 받게 됩니다 생일인 아이부터 시작해서 다음 아이, 그 다음 아이에게 주니까 충분히 공평합니다 방법 2와 비슷한 것 같습니다 75가 30인 것 외엔 말이죠 솔직히 75도 너무 많습니다 심지어 30도 너무 많고 그냥 15장의 종이만 있으면 될 것 같네요 다음에 그는 방의 창문 개수를 센 다음 창문 개수 만큼의 숫자를 가진 사람을 조수로 삼습니다 여기서 생각해 보아야 할 것은 방에 있는 창문의 개수가 고르게 임의로 분포되어 있는지입니다 어떤 건물인지와 누구의 집인가에 따라서 어떤 건물인지와 누구의 집인가에 따라서 생일 파티가 벌어지는 건물의 창문의 개수가 생일 파티가 벌어지는 빌딩의 창문의 개수가 랜덤일 수는 있겠지만 고르게 분포될 수는 없습니다 생일파티를 한 집들의 창문 개수를 다 세어 본다면 생일파티를 한 집들의 창문 개수를 다 세어 본다면 생일파티를 한 집들의 창문 개수를 다 세어 본다면 창문 1개보다는 10개를 가질 가능성이 클 것 같습니다 창문 1개보다는 10개를 가질 가능성이 클 것 같습니다 아니면 창문 30개 보다는 10개일 가능성이 높겠죠 아니면 창문 30개 보다는 10개일 가능성이 높겠죠 창문이 15개일 가능성보다 높을 수도 있고요 하지만 고르게 분포되지는 않을 겁니다 모든 집들에 각기 다른 개수의 창문이 있고 생일 파티를 하고 있는 집 역시 랜덤이겠지만 고르게 분포되지는 않았을 것입니다 숫자를 고르게 생성하지 못하기 때문에 좋지 않습니다 방법 3은 공평하지 않습니다 창문의 개수는 좋은 임의의 수 생성기가 아닙니다 좋은 생성기는 1부터 75까지의 수가 뽑힐 확률이 같습니다 1부터 75까지의 수가 뽑힐 확률이 같습니다 어느 정도 임의성은 있지만 건물이 가지는 창문의 개수는 공평하지 않습니다 건물이 가지는 창문의 개수는 공평하지 않습니다