잔차의 계산 예제

베라는 관광객들에게 자전거를 대여해 줍니다 베라는 자전거를 대여한 고객의 키를 cm 단위로 자전거의 프레임 사이즈를 cm 단위로 기록했습니다 결과를 그래프에 나타내고 베라는 두 변수의 관계가 상당히 선형적이었다는 사실을 깨달았습니다 그래서 자료들을 이용해 고객들의 키를 가지고 자전거의 프레임 크기를 예측하는 최소제곱회귀식을 계산하였습니다 자전거의 프레임 크기를 예측하는 최소제곱회귀식을 계산하였습니다 자전거의 프레임 크기를 예측하는 최소제곱회귀식을 계산하였습니다 이게 그 식입니다 이 문제를 보기도 전에 베라가 한 것에 대해 생각해봅시다 고객들을 받아서 고객의 키와 고객이 빌린 프레임의 크기를 기록했던 것입니다 따라서 이런 그림이 나왔을 것입니다 수평축은 cm 단위로 측정된 고객들의 키이고 수직축 역시 cm 단위로 측정된 프레임의 크기입니다 예를 들어 키가 100cm이고 예를 들어 키가 100cm이고 25cm 프레임을 빌려간 고객이 있었을 수도 있고 이 수치가 자전거 전문가들이 보기에 적당한지는 모르지만, 넘어갑시다 따라서 여기에 점을 찍었을 것입니다 또 다른 키가 100cm이면서 조금 더 큰 프레임을 빌린 고객은 여기에 점으로 표현했을 것입니다 그리고 최소제곱회귀를 이용해 그리고 최소제곱회귀를 이용해 이 자료에 알맞은 직선을 찾았습니다 보통은 스프레드시트나 컴퓨터를 씁니다 그렇게 그린 직선은 점들간의 길이를 최소화할 것입니다 따라서 최소제곱회귀를 하면 대략 이렇게 될 것입니다 그리고 이건 어림한 값입니다 아마도 이렇게 자를 사용하면 아마도 이렇게 아마도 이렇게 생겼을 것입니다 그래프에 나타내 봅시다 따라서 이게 회귀 직선이 될 겁니다 따라서 회귀 직선은 ŷ = 1/3 + 1/3x이 됩니다 이 방법을 관계의 예측으로 혹은 모델링으로 봐도 됩니다 새로운 고객이 왔을 때 키를 x 값으로 받아서 어떤 크기의 프레임을 대여할지 예측하는 겁니다 문제는 키가 155cm면서 프레임의 크기가 51cm인 자전거를 빌리는 사람의 잔차는 얼마인가를 묻고 있습니다 어떻게 풀어야 할까요? 잔차는 실제 빌려간 값과 회귀 직선이 예측한 값의 차이를 말하는 것입니다 따라서 잔차는 따라서 잔차는 실제값 - 예측값입니다 실제값 - 예측값입니다 실제값 - 예측값입니다 따라서 예측값이 실제값보다 크면 이 값은 음수가 될 것입니다 예측값이 실제값보다 작으면 이 값이 양수가 될 것입니다 실제값은 문제에 이미 주어졌습니다 문제에서 주어진 조건은 문제에서 주어진 조건은 155cm의 사람이 51cm 프레임을 가진 자전거를 빌렸다는 것입니다 155cm의 사람이 51cm 프레임을 가진 자전거를 빌렸다는 것입니다 따라서 이건 51cm입니다 예측값은 얼마일까요? 이제 회귀 직선의 방정식을 쓰면 됩니다 베라가 구한 식의 예측값을 써보면 1/3 + 1/3 x 고객의 키가 될 것입니다 1/3 + 1/3 x 고객의 키가 될 것입니다 고객의 키는 155입니다 이게 예측값입니다 ŷ은 최소제곱회귀가 예측한 직선 위의 예측값입니다 얼마가 될까요? 1/3 + 155/3 즉 156/3 깔끔히 52가 됩니다 따라서 직선의 예측값은 52입니다 따라서 여기 이 고객은 155cm이고 여기 그려보죠 직선의 살짝 아래에 찍힙니다 직선의 살짝 밑인 이곳에 위치하고 거리를 구해보면 그리고 이 값이 직선 밑에 있으므로 거리를 구하면 이 경우 잔차는 음수가 됩니다 이 값은 -1이 될 겁니다 이 곳을 확대해보면 잘 안 보이지만 그려 봅시다 직선을 확대해보면 이렇게 될 것입니다 측정값은 여기 있고 측정값은 여기 있고 이 값은 직선 밑에 존재하므로 음의 잔차를 가질 겁니다 잔차의 크기는 직선으로부터의 거리입니다 이 경우는 -1입니다 따라서 이게 잔차입니다 이게 실제값과 회귀 직선으로 예측된 값의 차이입니다