회귀직선 예제 2

이 예시에 가장 잘 맞는 회귀직선을 구해 봅시다 이 예시에 가장 잘 맞는 회귀직선을 구해 봅시다 각 점까지의 제곱 거리를 최소화하도록 말이죠 각 점까지의 제곱 거리를 최소화하도록 말이죠 그런 다음 R 제곱을 사용하여 얼마나 잘 맞는지 계산해 봅시다 그런 다음 R 제곱을 사용하여 얼마나 잘 맞는지 계산해 봅시다 시간이 모자라면 다음 동영상에서 해야 할 수도 있어요 상기시켜 드리자면 직선의 방정식은 y = mx+b입니다 그리고 각 점까지의 제곱 거리를 최소화시키는 직선의 기울기는 (xy의 평균) - (x의 평균)(y의 평균)을 (xy의 평균) - (x의 평균)(y의 평균)을 (x²의 평균) - (x의 평균)²으로 나눈 것이었습니다 (x²의 평균) - (x의 평균)²으로 나눈 것이었습니다 이것을 외우는 방법 중 하나는 첫 번째 항들은 합친 것들의 평균이라는 겁니다 x를 제곱한 후에 평균을 구했고 x와 y를 서로 곱한 후에 평균을 구했습니다 두 번째 항에서는 각각의 평균을 구한 뒤에 곱합니다 두 번째 항에서는 각각의 평균을 구한 뒤에 곱합니다 (x의 평균)(y의 평균)이고 (x의 평균)(x의 평균)이죠 도움이 됐길 바랍니다 아닐 수도 있지만 말입니다 기울기는 이렇게 구하고 y 교점인 b는 그냥 (y의 평균) - m(x의 평균)입니다 (y의 평균) - m(x의 평균)입니다 이게 가능한 이유는 (x의 평균, y의 평균)의 좌표가 이 회귀직선 위에 있을 것이기 때문입니다 계산해 봅시다 지난번 예제에서는 점이 세 개였습니다 여기서는 점이 네 개이지만 계산은 훨씬 더 복잡해집니다 점이 10, 20, 100개까지 늘어난다면 무슨 일이 생길지 짐작할 수 있겠죠 점이 10, 20, 100개까지 늘어난다면 무슨 일이 생길지 짐작할 수 있겠죠 그때쯤 가면 계산기를 사용해야 할 겁니다 아니면 컴퓨터가 더 낫겠네요 스프레드시트를 쓰던가요 m을 계산해 봅시다 그러기 위해서 성분을 계산합니다 x의 평균 = -2 + (-1) + 1 + 4이고 x의 평균 = -2 + (-1) + 1 + 4이고 그걸 모두 x 측정점의 개수 4로 나눕니다 이 둘은 소거되고요 -2 + 4 = 2고 2/4 = 1/2입니다 y의 평균을 계산해 봅시다 y의 평균은 -3, -1, 2, 3이 있습니다 -3, -1, 2, 3이 있습니다 측정점은 4개 있고요 이것과 이것은 소거됩니다 -1 + 2 = 1이니까 답은 1/4입니다 -1 + 2 = 1이니까 답은 1/4입니다 이제 xy의 평균을 구합시다 xy의 평균입니다 여기는 -2 x -3이 있습니다 -2 x -3은 6입니다 -1 x -1인 양수 1을 더하고 1 x 2인 2를 더하고 4 x 3인 12를 더합니다 그리고 측정점은 네 개입니다 계산하면 6 + 1 = 7 7 + 2 = 9 9 + 12 = 21이니까 21/4입니다 계산 결과는 21/4네요 마지막으로 구하려는 것은 새로운 색깔로 하겠습니다 (x의 평균)²입니다 그 값은 (-2)² 즉 4이고 (-1)² = 1을 더하고 1² = 1을 더하고 4² = 16도 더한 후 그걸 모두 4로 나눕니다 4 + 2 = 6에 16을 더하면 22/4입니다 22/4는 11/2과 같죠 이제 실제 기울기를 구할 준비가 되었습니다 이쪽에서 합시다 아니, 이쪽이 낫겠군요 과정이 모두 보이는 게 좋겠습니다 여기서 할게요 이 경우 이 값은 xy의 평균, 21/4에서 x의 평균 1/2과 y의 평균 1/4를 곱한 값을 빼고 x의 평균 1/2과 y의 평균 1/4를 곱한 값을 빼고 x의 평균 1/2과 y의 평균 1/4를 곱한 값을 빼고 그걸 다 x²의 평균 11/2에서 (x의 평균)² 1/2를 뺀 값으로 나눕니다 x²의 평균 11/2에서 (x의 평균)² 1/2를 뺀 값으로 나눕니다 x²의 평균 11/2에서 (x의 평균)² 1/2를 뺀 값으로 나눕니다 x²의 평균 11/2에서 (x의 평균)² 1/2를 뺀 값으로 나눕니다 x²의 평균 11/2에서 (x의 평균)² 1/2를 뺀 값으로 나눕니다 계산하면 얼마일까요? 바로 계산기를 꺼낼게요 분수를 계산하면 되긴 하지만 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 배우는 강의는 아니니까 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 배우는 강의는 아니니까 바로 계산기를 쓰겠습니다 잠깐, 먼저 분수를 간단히 합시다 제가 약분을 정말 하고 싶거든요 복사해서 붙여 넣습니다 복사해서 붙여 넣습니다 이쪽 아래로 내려와서 계산할게요 이 값은, 아마 계산기를 쓰는 게 나았을 수도 있지만 너무 하고 싶어서 말이죠 위에는 뭐가 있죠? 21/4 – 1/2 x 1/4 = 21/4 – 1/8이고 밑에는 11/2 - (1/2)² = 11/2 – 1/4입니다 이것을 바로 간단히 바꾸는 방법 하나는 분자와 분모에 8을 곱하는 것입니다 이 분수들을 모두 없애기 위해서입니다 21/4 x 8은 21 x 2와 같습니다 42와 같고 거기서 1/8 x 8을 뺍니다 물론 8을 분배하고요 즉 1을 빼는 셈이 됩니다 그리고 8 x 11/2 = 11 x 4이므로 44이고 그리고 8 x 11/2 = 11 x 4이므로 44이고 8 * 1/4 = 2니까 2를 뺍니다 42 – 1 = 41 44 – 2 = 42 따라서 기울기는 41/42입니다 1보다 조금 작은 값입니다 42/42가 정확히 1이죠 이 회귀직선의 기울기는 1에 조금 덜 미칩니다 그리고 회귀직선의 y교점 b는 y의 평균과 같은 값이겠죠 1/4에서 기울기 41/42를 빼고 x의 평균 1/2을 곱해줍니다 그러면 1/4 - 41/84가 되는데 공통분모를 찾아봅시다 공통분모를 찾아봅시다 84를 분모로 하면 84의 1/4은 얼마일까요? 80의 1/4이 20이니까 21이 되네요 21 x 4 = 84입니다 이건 84의 1/4입니다 네, 맞습니다 (21-41)/84를 계산하면 -20/84입니다 둘 다 4로 나눌 수 있으니 분자를 4로 나누면 -5이고 -5/21가 됩니다 이 회귀직선의 방정식은 y = (41/42)x – 5/21입니다 5/21는 1/4에 조금 못 미칩니다 5/20가 1/4이죠 분모가 약간 더 크기 때문에 -1/4의 값보다 약간 작습니다 따라서 y교점의 값은 -1/4보다 약간 작습니다 따라서 y교점의 값은 -1/4보다 약간 작습니다 기울기는 1에 조금 못 미치죠 기울기는 1에 조금 못 미치죠 구한 직선은 대충 이렇게 생겼습니다 구한 직선은 대충 이렇게 생겼습니다 제가 직선을 제대로 그린다면 이것과 비슷하게 보이겠죠 이번 동영상은 여기에서 마치겠습니다 다음 동영상에서는 이 직선의 R 제곱을 구할 겁니다 직선이 어느 만큼 적합한지 전체 y값의 변화 중 얼마를 x값의 변화, 또는 직선 자체를 이용하여 설명할 수 있는지 봅시다