잔차도

이번 동영상에서는 회귀와 그것이 나타내려고 하는 자료에 대한 회귀와 그것이 나타내려고 하는 자료에 대한 잔차 그림에 대해 알아보겠습니다 여기서 보듯이 간단한 최소제곱회귀가 있습니다 네 개의 점의 추세를 찾고 있습니다 이전의 동영상들에서 이 최소제곱회귀 직선의 식을 구했습니다 지금부터는 각 점의 잔차를 그려보겠습니다 잔차란 무엇일까요? 복습하자면 주어진 점의 잔차는 실제값 - 기댓값입니다 실제값 - 기댓값입니다 어떻게 하면 이것을 표현할 수 있을까요? 이 점의 잔차는 무엇일까요? 여기 이 점은 x가 1일 때 y의 실제 값입니다 하지만 x가 1일 때 이 최소제곱회귀 직선의 기댓값은 하지만 x가 1일 때 이 최소제곱회귀 직선의 기댓값은 2.5 x 1 - 2이므로 0.5가 됩니다 따라서 잔차는 1 - 0.5입니다 따라서 잔차는 양수 0.5입니다 따라서 잔차는 양수 0.5입니다 이 점에 대해서는 잔차가 0입니다 실제값이 기댓값이기 때문입니다 이 점에 대해서는 x가 2일 때 y는 2이지만 기댓값은 3입니다 따라서 이것의 잔차는 다시, y의 실제값은 x가 2일 때 2이고 다시, y의 실제값은 x가 2일 때 2이고 기댓값은 2 x 2.5 - 2 = 3이니까 따라서 이는 2 - 3 잔차는 -1입니다 그리고 이 점의 잔차는 실제값은 x가 3일 때 6이고 기댓값은 x가 3일 때 5.5입니다 따라서 6 - 5.5 0.5입니다 이게 잔차들인데 어떻게 그려야 할까요? 새 축을 만들어 봅시다 여기에 해보도록 합시다 1 2 3 최대 잔차는 이곳, 0.5입니다 최소는 이곳 -1입니다 이건 0.5, 1 - 0.5, -1 이건 -1입니다 여기는 +1입니다 x가 1일 때, 잔차가 얼마였죠? 실제값은 1이고, 기댓값은 0.5였으므로 1- 0.5는 0.5입니다 따라서 이곳에 점을 찍습니다 잔차는 0.5입니다 x가 2일 때는 두 개의 자료가 존재합니다 먼저 이 점을 해보겠습니다 (2,3)을 보면 잔차는 0입니다 따라서 둘 중 하나는 잔차가 0입니다 다른 점은 잔차가 -1입니다 다른 색으로 적어보죠 다른 점은 -1입니다 여기에 찍어주면 됩니다 이 마지막 점은 잔차가 0.5입니다 이렇게 됩니다 방금 제가 만든 것 지금 보시고 계신 이것은 x에 대해 대응하는 잔차를 이용해 이 선의 위 혹은 아래에 점을 찍은 것입니다 바로 이게 잔차 그림입니다 한 가지 의문은 왜 이런 잔차 그림을 그리냐는 것이죠 그 이유는 회귀 직선이 오른쪽 위를 향하든 오른쪽 아래를 향하든 이 그림은 이 직선이 좋은 직선인지 이 직선이 변수들의 관계를 잘 설명하는지 알려주기 때문입니다 큰 개념은 만약 점들이 선을 기준으로 일정하게 혹은 임의로 흩어져 있다면 선을 기준으로 일정하게 혹은 임의로 흩어져 있다면 특별한 추세가 없다면 직선은 자료들을 잘 나타내는 모델일 것입니다 하지만 추세가 보인다면 잔차들이 이렇게 올라가는 추세 혹은 올라갔다가 내려가거나 혹은 내려가는 추세를 가진다면 이 직선은 좋지 않고 비선형 모델을 써야한다는 뜻입니다 잔차 그림에는 어떤 예시들이 있을까요? 몇 개를 분석해 봅시다 여기 주어진 회귀 직선과 대응되는 잔차 그림이 있습니다 여길 보면 잔차가 살짝 양수입니다 실제 값이 직선의 살짝 위에 있고 여기서도 살짝 양수입니다 이 점은 더 양수입니다 하지만 방금 본 예시처럼 잔차가 꽤 고르게 분포되어 있습니다 선 위아래로 말이죠 특별한 추세가 없습니다 따라서 이 선형 모델은 이 회귀 직선은 이 자료들의 꽤 좋은 모델입니다 하지만 이런 것을 보면 다른 그림이 그려집니다 이 잔차 그림을 보면 고르지 분포되어 있지 않습니다 추세가 보입니다 내려갔다가 다시 올라갑니다 잔차 그림이 x축 아래로 갔다가 위로 올라갔다 하면 잔차 그림이 x축 아래로 갔다가 위로 올라갔다 하면 이 선형 모델은 부적절하다는 것을 보여줍니다 이 선형 모델은 부적절하다는 것을 보여줍니다 다른 곡선의 비선형 모델이 더 좋다는 것을 말해줍니다 더 좋다는 것을 말해줍니다 y와 x의 관계가 비선형이라고요 y와 x의 관계가 비선형이라고요 다르게 생각해본다면 x축과 먼 잔차들이 잔차 그림에서 많이 보인다면 이는 이 모델이 좋지 않음을 알려줍니다 이것의 r 값을 계산해보면 조금 양수이고 1에 가깝지 않을 겁니다