세 자리 글자를 만드는 경우의 수

스스로에게 영어에서 알파벳에 관한 흥미로운 질문을 던져봅시다. 혹시 기억이 안나거나 직접 세고싶다면 총 26개의 알파벳이 있습니다. A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P Q,R,S,T,U,V,W,X,Y와 Z로 알파벳26개를 알 수 있습니다. 그럼 이제 스스로에게 흥미로운 질문을 던져봅시다. 영어에서 26개의 알파벳이 있다고 주어졌을 때, 총 몇개의 3글자 단어가 존재할까요? 우리는 음성학이나 얼마나 발음하기 어려운지 따지지 않을 것입니다. 그러므로 예를 들어, ZCT라는 단어가 이 경우에 적당한 단어가 될 것입니다. 또는 SKJ라는 단어가 이 경우에 적당한 단어가 될 것입니다. 그렇다면 영어에서 가능한 3글자 단어가 몇 개 있을까요? 이 동영상을 멈추고 생각해보는 것을 권장합니다. 여러분이 한번 시도해봤다는 생각이 드는데요, 그냥 한번 생각해봅시다. 3글자 단어를 위해서 3개의 공간이 있는데요, 첫번째 공간에 가능한 알파벳은 몇 개 있을까요? 첫번째 공간에는 26개의 알파벳이 가능합니다. A에서 Z까지 아무것이나 괜찮습니다. 이제 두번째 공간에 가능한 알파벳은 몇 개 있을까요? 우리가 많은 예시들을 봤기 때문에 혼란스럽게 하기 위해 여러분들께 의도적으로 물어본 것입니다. "첫번째 공간에는 26개의 글자가 가능하고 아마도 두번째 공간에는 25개의 글자가, 그리고 세번째 공간에는 24개의 글자가 가능하다" 라고 흔히들 말하지만 우리는 글자를 반복할 수 있기 때문에 지금 상황과는 맞지 않습니다. 저는 모든 글자가 다 달라야 한다고 말하지 않았습니다. 예를 들어, HHH라는 단어도 적당한 단어가 될 것입니다. 그러므로 두번째 공간에 26개의 알파벳이 가능하고 세번째 공간에도 26개의 알파벳이 가능합니다. 어떤 숫자인지는 모르겠지만 총 26개의 3제곱 단어가 가능하고 26×26×26개의 단어가 가능합니다. 특정한 의미를 가지거나 발음이 가능한지 따지지 않고, 알파벳을 반복해서 썼을 때, 이것은 영어에서 우리가 만들기 가능한 3글자 단어의 총 숫자입니다. 이제 다른 질문을 던져봅시다. "세 글자 단어에서 모두 다른 알파벳이 쓰여야 한다면 몇 개가 가능할까?" 라고 물으면 어떨까요? 모두 다른 알파벳을 써야 합니다. 세 공간에 들어갈 알파벳은 모두 달라야 합니다. 비디오를 멈추고 어떻게 풀어야 하는지 생각해 보세요. 자, 지금부터 순열이 유용해지기 시작할 것입니다. 저는 이런 문제를 풀 때, 증명한 후에 어떤 공식이 적용되는지 알아내는 것이 가장 좋다고 생각합니다. 이 문제를 순서대로 풀어보면 첫번째 자리에 26개의다른 알파벳이 올 수 있고, 저는보통 왼쪽 자리부터 시작하는데요, 왼쪽자리에 특별한 무언가가 있는 것은 아닙니다. 오른쪽자리부터도 시작할 수 있습니다. 26개의 알파벳이 가능합니다. 가운데 자리에 올 수 있는 알파벳은 25개라고 볼 수 있고요, 25개와 26개의 알파벳이 올 수 있을 때, 세 글자 단어 중 두 알파벳을 정하고 마지막 자리를 채우기 전에 두 글자를 썼기 때문에 24개의 알파벳이 가능합니다. 제가 26,25,24 순서대로 쓴 이유는 항상 왼쪽부터 채우는 것에 특별한 것이 없다는 걸 보여드리기 위해서입니다. 세 자리 중 한 자리부터 먼저 채워봅시다. 그 자리에는 26개의 알파벳이 가능하고 한 알파벳을 썼기 때문에 나머지 자리에는 가능한 알파벳이 하나씩 줄어들 것입니다. 그러므로 24×25×26, 여기서 여러분을 혼란시키지 않기 위해 다시 순서대로 가장 왼쪽 자리에 26개의 알파벳이 가능하고, 이미 한 알파벳을 썼고 두 글자가 달라야 하기 때문에 다음 자리에는 25개의 알파벳이 가능하고, 마지막 자리에는 24개의 알파벳이 가능합니다. 그러므로 26×25×24의 경우의 수가 나옵니다. 여기서 수열의 표기법으로 나타내고 싶다면 이 수가2P, 아 죄송합니다. P가 아니라 6입니다. 우리는 26개의 다른것들을 세개의 공간에 몇가지 수열로 나눌 수 있는지 알아내려 하고 있습니다. 저는 절대로 추천하지 않지만 만약 맹목적으로 공식을 대입해보면 26!(계승)을 (26-3)!으로 나누면 됩니다. 이는 26!을 23!으로 나눈 것과 같게 되고 분자의 23!은 분모의 23!으로 인해 약분되기 때문에 26×25×24로 나눈 것과 같습니다. 이 동영상의 핵심은 두가지 핵심이 있는데, 첫번째는 어떤 사람이 "몇가지 단어를 만들 수 있나요" 같은 질문을 했을 때 맹목적으로 수열이나 조합으로 풀면 안됩니다. 질문에서 무엇을 묻고 있는지에 대해 잘 생각해보세요. 이 문제에서는 단순히 26×26×26을 하면 됩니다. 제가 짚어드리고 싶은 다른 핵심은, 계속해서 설명하고 있고 여러분이 짜증날 수도 있겠지만, 수열이 적용되는 경우에도 최소한 제 뇌에서는 "몇 주전 또는 몇년 전에 배웠던 N!과 K!가 있던 공식이 있는데, 외워야했었고 다시 찾아봐야해요." 라고 말하는 것보다 문제를 통해 증명하는 것이 훨씬 가치있습니다. 항상 증명하는 것이 더 유용합니다.