순열 공식

다섯 명의 사람이 있다고 가정합시다- A,B,C, D,E 우리는 그들을 각각 다른 의자에 앉히려고 합니다 우리는 그들을 다섯 개의 다른 자리 혹은 의자에 앉히려고 합니다 즉, 자리 1, 자리 2, 자리 3, 자리 4, 자리 5가 있는 셈이지요 사건의 경우의 수 혹은 이 다섯 명을 다섯 개의 의자에 배열하는 순열의 경우의 수를 알고 싶은데 만약 사람들을 순서대로 앉힌다면 첫 번째 의자에는 다섯명이 앉을 수 있다고 말할 수 있습니다 다섯 명 모두 첫 번째 의자에 앉을 수 있습니다 또한 각각의 경우에 대해 두 번째 의자에는 네 명이 앉을 수 있습니다 5 곱하기 4이므로 첫 번째 의자와 두 번째 의자에 앉히는 데 20가지의 경우가 있습니다 그렇다면 각각의 20가지의 경우에 대해서 세 번째 의자에는 몇 명이 앉을 수 있을까요? 아직 세명이 앉지 않았기 때문에 세 명 모두 가능성이 있습니다 즉 첫 세 사람을 앉히는 경우의 수는 5 곱하기 4 곱하기 3이 됩니다 즉 첫 세 사람을 앉히는 경우의 수는 5 곱하기 4 곱하기 3이 됩니다 네 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 아직 두 명이 앉지 못했기 때문에 두 개의 가능성이 있습니다 즉 네 개의 의자에 앉힐 경우의 수는 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2인데 각각의 경우에 대해 다섯 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 각각의 경우에 대해 다섯 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 각각의 경우에 대해 아직 앉지 못한 사람은 한 명밖에 없으므로 한 가지 경우밖에 없겠군요 다섯 명을 다섯 개의 의자에 앉히는 순열의 개수는 5 팩토리얼인데, 이는 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1과 같습니다 이는 당연히 20 곱하기 6과 같으므로 120이겠네요 팩토리얼은 이전 비디오에서 다루었습니다 여기에서 조금 더 심화된 내용을 해 볼까 합니다 어떤 사람은 재미없다고 느낄 수도 있겠네요 (웃음) 다섯 명의 사람은 그대로 있지만 의자의 개수가 적어서 모두가 앉을 수 없다고 해 봅시다 예를 들어 의자가 세 개만 있습니다- 의자 1, 의자 2, 그리고 의자 3이 있습니다 그렇다면 다섯 명 중 세 명만 앉을 경우의 수는 무엇일까요? 단, 어떤 의자에 누가 앉는지 고려한다고 가정합시다 비디오를 잠시 멈추고 생각해 보기 바랍니다 생각을 해 봤다고 믿고 넘어가겠습니다 여기에서도 비슷한 논리를 사용합니다 이들을 순서대로 앉힌다면 첫 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 아직 아무도 앉지 않았다면 다섯 명이 남아 있고 첫 번째 의자에는 다섯 명이 앉을 수 있습니다 한 명이 이미 첫 번째 의자에 앉았을 때 각각의 경우에 대해 두 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 한 명이 이미 앉은 각각의 경우의 수에 대해 아직 네 명이 앉지 않았으므로 두 번째 의자에는 네 명이 앉을 수 있습니다 첫 번째 의자와 두 번째 의자에 앉힌 경우의 수는 5 곱하기 4입니다 각각의 20가지의 경우의 수에 대해서 세 번째 의자에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 세 명이 아직 앉지 못했군요 그러므로 각각의 20가지의 경우에 대해 세 번째 의자에 세 명이 앉을 수 있습니다 즉 5 곱하기 4 곱하기 3의 경우의 수가 나옵니다 이는 5 곱하기 4 곱하기 3이므로 60입니다 그러므로 다섯 명이 세 개의 의자에 앉는 순열의 개수는 60입니다 순열의 개수를 세는 문제를 풀 때 저는 늘 이렇게 그림을 그려서 푸는데, 그 이유는 공식을 싫어하기 때문이고 또 문제를 개념화하고 시각화해서 푸는 것을 좋아하기 때문입니다 하지만 여러분은 "다섯 명과 다섯 개의 의자가 있고 순서를 고려하는 문제에서 하지만 "다섯 명과 다섯 개의 의자가 있고 순서를 고려하는 문제에서 5 팩토리얼이라는 결과가 나왔고 팩토리얼은 식을 간단하게 해 주는 연산법인데 팩토리얼을 사용해서 방금 전에 풀었던 문제를 풀 수 있을까?" 라고 생각할 수 있습니다 방금 전에 풀었던 문제는 5 팩토리얼에서 2 곱하기 1만 빠진 형태입니다 방금 전에 풀었던 문제는 5 !에서 2 곱하기 1만 빠진 형태입니다 그러므로 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1에서 2 곱하기 1은 해 주지 않았으므로 위의 식을 2 곱하기 1로 나누어 주면 되겠네요 그렇게 해 주면 분자와 분모의 2 곱하기 1이 서로 소거되므로 5 곱하기 4 곱하기 3만 남게 되겠군요 위의 문제를 이런 형태로 쓴 이유는 이제 팩토리얼의 형태로 쓸 수 있기 때문입니다 이제 5!/2!로 쓸 수 있습니다 그러면 여러분은 "2는 어디에서 나온 거지? 세 개의 의자가 있었는데 왜 2라는 숫자가 나온 걸까?" 라고 생각할 수 있습니다 생각해 보세요, 5 곱하기 4 곱하기 3을 했는데 의자의 개수만큼만 곱하기를 하고 그 이후로는 곱하지 않았습니다 그러므로 곱하기를 하지 않은 부분은 사람의 수 빼기 의자의 개수만큼입니다 사람의 수 빼기 의자의 개수만큼입니다 다시 정리하자면 다섯 개를 세 개의 장소에 놓으려고 하는데 5 빼기 3, 즉 2개가 남았습니다 그러므로 5!/(5-3)!애서 5-3은 당연히 2가 되겠지요 5!/(5-3)!입니다 이 식을 일반화하기 위해 다른 방법으로 생각해 봅시다 순열의 개수를 알고 싶다면- 순열의 개수를 표현하는 방법에는 몇 가지가 있습니다 n명의 사람을 r개의 의자에 앉히는 순열의 개수, 혹은 n명의 사람을 r개의 의자에 앉히는 순열의 개수 이외에도 표현하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 이는 n!/(n-r)!이겠네요 위의 문제에서 n은 5이고 r은 3이고 5 빼기 3은 2입니다 이 공식을 확률이나 통계 수업 때 볼 수 있는데 사람들은 거의 이 공식을 외우려고 합니다 굉장히 어려워 보이는 식이지요 제가 이 공식을 쓴 이유는 딱 하나입니다 여러분이 교과서나 수업 때 이 공식을 봤을 때 방금 전에 풀었던 방식과 연관을 지을 수 있게 하기 위해서입니다 이 공식은 특출난 마법 같은 게 아닙니다 하지만 저는 개인적으로 문제를 풀 때, 공식을 외워서 사용하지는 않습니다 저는 방금 전처럼 차근차근 생각하면서 푸는데 그 이유는 공식을 단순히 암기했을 때 "이 문제에서는 이 공식이 적용되나? n이 뭐지? r은 뭐지?" 하는 혼란이 올 수 있기 때문입니다 하지만 방금 전처럼 하나하나 따져가면서 생각하면 논리적으로 풀립니다 아무것도 외울 필요가 없습니다 이해하지 않은 채 공식만 외우지 말고 귀납적 방법을 사용하면 됩니다 이런 접근 방식이 중요한 이유는 앞으로도 보겠지만 모든 문제가 이 공식에 맞아떨어지지는 않기 때문입니다 문제를 조금 꼬아서 낸다면 예를 들어 사람 B가 특정한 의자 하나에만 앉고 싶어할 수도 있겠지요 문제가 어떻게 변형될지 모르는데 그런 경우에 위의 공식은 필요없게 됩니다 그러므로 저는 방금 전처럼 차근차근 생각하는 것을 추천합니다 제가 이 공식을 보여준 이유는 단지 수업시간에 봤을 때 연관짓도록 하기 위해서입니다