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주요 내용
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계승과 의자에 앉는 경우의 수

동영상 대본

둥근 책상 하나와 의자 세 개가 있다고 합시다 의자 1개, 2개, 그리고 3개 각각의 의자에 번호를 붙일 수 있겠지요 1번 의자, 2번 의자, 3번 의자라고 합시다 세 명의 사람들이 이 세 개의 의자에 앉고 싶어한다고 했을 때 각각의 사람을 A,B,C라고 합시다 각각의 사람을 A,B,C라고 합시다 각각의 사람을 A,B,C라고 합시다 이제 이 세 명의 사람들이 세 개의 의자에 앉을 수 있는 여러 가지 시나리오들을 구해 봅시다 세 개의 의자에 앉을 수 있는 여러 가지 시나리오들을 구해 봅시다 무슨 뜻일까요? 만약 A가 1번 의자에 앉고, B가 3번 의자에 앉고, C가 2번 의자에 앉는다면 이것이 하나의 시나리오가 될 수 있습니다 이것이 하나의 시나리오가 될 수 있습니다 A가 1번에, C가 2번에, B가 3번 의자에 앉는 것입니다 다른 시나리오를 만들어 보자면 B가 1번 의자에 앉고 C는 2번 의자에 그대로 있고, A가 3번 의자에 앉을 수도 있습니다 이렇게 두 개의 시나리오가 만들어졌습니다 그렇다면 제가 질문을 하나 드리겠습니다 이러한 시나리오들은 총 몇 가지일까요? 동영상을 잠시 멈추고 생각해 보세요 동영상을 잠시 멈추고 생각해 보세요 여러분께서 생각을 해 봤다고 믿고, 이제 같이 해 봅시다 시나리오를 하나도 빼먹지 않고 다 세기 위해 체계적으로, 찬찬히 세어 봅시다 먼저 각각의 의자를 의미하는 세 개의 빈칸을 그려 보겠습니다 먼저 각각의 의자를 의미하는 세 개의 빈칸을 그려 보겠습니다 위에서는 그냥 원으로 그렸지만 이번에는 빈칸을 각각 1번, 2번, 3번 의자라고 하고 문제를 풀 수 있습니다 먼저 1번 의자로 시작해 보겠습니다 여러 가지 시나리오가 뭘지 생각해 봅시다 1번 의자에 A나 B나 C가 앉을 수 있습니다 그럼 각 경우에 2번 의자에 누가 앉을 수 있는지 구하고, 각각의 경우에 또 다시 3번 의자에 누가 앉을 수 있는지 구해야 합니다 그럼 해 봅시다 먼저, 1번 의자에 앉을 수 있는 사람들의 시나리오는 무엇일까요? 한 번 써 보도록 하겠습니다 1번 의자 일단 지금으로서는 1번 의자만 채워 보도록 하겠습니다 A가 1번 의자에 앉을 수도 있고- 아직 2번과 3번 의자는 채워 넣지 않았습니다- 2번 의자와 3번 의자입니다 B가 1번 자리에 앉을 수도 있습니다 이번에도 2번과 3번 자리는 나중에 알아 내도록 하지요 마지막으로 C가 1번 자리에 앉을 수도 있는데 위와 같이 2번과 3번 자리에 누가 앉을지는 정하지 않았습니다 위와 같이 2번과 3번 자리에 누가 앉을지는 정하지 않았습니다 이제 각각의 경우에 2번 자리에 누가 앉을지 정해 봅시다 1번 의자와 2번 의자 첫 번째 경우에는 일단 1번 의자에 A가 앉는다는 것은 확실합니다 2번 의자에는 B가 앉을 수도 있는데 누가 3번 의자에 앉을지는 귀납적 추론을 이용해 쉽게 구할 수 있겠지만 빈칸으로 남겨 놓겠습니다 그러니 3번 의자는 일단 빈칸으로 놔 두겠습니다 C가 2번 의자에 앉을 수도 있습니다 여전히 3번 의자에 누가 앉을지는 정하지 않았으나 조금만 추론을 한다면 누가 앉을지 바로 답이 나오기는 합니다 그러니 이것들이 A가 1번 자리에 앉았을 때의 시나리오입니다 그러면 B가 1번 자리에 앉았을 경우는 어떨까요? A가 2번 자리에 앉을 수도 있는데 여전히 3번 자리에 누가 앉을지 구해야 합니다 C가 2번 자리에 앉을 수도 있겠지요 여전히 3번 자리에 누가 앉을지 정해야 합니다 여전히 3번 자리에 누가 앉을지 정해야 합니다 마지막으로 C가 1번 자리에 앉는 경우를 생각해 봅시다 A를 2번 자리에 앉히거나 B를 2번 자리에 앉힐 수 있습니다 그럼 이제는 세 개의 자리를 모두 채워 봅시다 1번 자리, 2번 자리, 그리고 3번 자리 첫 번째 경우에는 3번 자리에 앉을 수 있는 사람이 단 한 명 뿐입니다 아직 앉지 않은 C뿐입니다 그러므로 ABC의 순서가 될 것입니다 두 번째 경우는 어떨까요? 아직 앉지 않은 사람이 이 의자에 앉을 수 있는 유일한 사람이 되는데 그 사람이 바로 B입니다 그러므로 ACB입니다 세 번째는 BAC가 됩니다 C만 여기 앉을 수 있기 때문입니다 이번에는 A만이 앉을 수 있는 사람이므로 BCA가 됩니다 다섯 번째 경우에서는 3번 자리에 앉을 수 있는 사람이 B뿐이고 여섯 번째 경우에는 A뿐이므로 여섯 번째 경우에는 A뿐이므로 이제 몇 가지 경우가 있는지 세어볼 수 있게 되었습니다 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 여섯이 답이 됩니다 각각의 사람들이 각각의 의자에 앉을 수 있는 시나리오의 개수는 6개입니다 지금 여러분께서 무슨 생각을 하고 계시는지 압니다 "세 명의 사람들이 세 개의 의자에 앉는 경우를 세는 거니까 딱히 이렇게 순서대로 구하지 않아도 될 것 같은데 의자가 더 많은 경우에는 어떡하죠? 의자가 60개면 어떻게 풀어요?" 자, 이런 경우에는 시나리오의 개수가 굉장히 많아집니다 다섯 명의 사람들이 다섯 개의 의자에 앉고 싶어하는 경우는 어떨까요? 방금 전처럼 그림을 그려서 하는 것도 엄청나게 많은 공간을 필요로 할 것입니다 엄청나게 많은 공간을 필요로 할 것입니다 이럴 때는 어떻게 문제를 풀 수 있을까요? 방금 문제를 풀 때 무슨 일이 일어난 것인지 안다면 쉽게 해결할 수 있습니다 1번 자리에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 자리별로 간다면 1번 자리에 앉을 수 있는 경우의 수는 몇 가지였나요? 아직 아무도 자리에 앉지 않았다면 아직 아무도 자리에 앉지 않았다면 처음에 1번 자리에 앉을 수 있는 사람은 3명입니다 처음에 1번 자리에 앉을 수 있는 사람은 3명입니다 아직 아무도 앉지 않아서 모두 첫 번째 자리에 앉을 가능성이 있기 때문입니다 아직 아무도 앉지 않아서 모두 첫 번째 자리에 앉을 가능성이 있기 때문입니다 그럼 각 경우들에 대해 2번 자리에 앉을 수 있는 사람은 몇 명인가요? 먼저 A가 1번 자리에 앉아 있는 경우를 생각해 봅시다 이 때는 2번 자리에 앉을 수 있는 사람들이 두 명밖에 없습니다 다른 색깔로 표시하겠습니다 지금 박스 친 바로 이 부분입니다 3개의 각 경우에 2번 자리에 앉을 수 있는 경우의 수는 2가지입니다 A가 1번 자리에 앉아 있다면 B 또는 C가 2번 자리에 앉을 수 있습니다 B가 1번 자리에 앉아 있으면 A 또는 C가 2번 자리에 앉을 수 있습니다 각각의 총 3가지 경우에 또 2가지 경우가 생기는 것입니다 그러므로 1번과 2번 자리를 채우는 경우의 수는 6가지입니다 그러므로 1번과 2번 자리를 채우는 경우의 수는 6가지입니다 그러므로 1번과 2번 자리를 채우는 경우의 수는 6가지입니다 이 6가지에 대해서 3번 자리에 앉을 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? 각각의 경우에 대해서 3번 자리에 앉는 것은 한 가지 경우밖에 없었습니다 3번 자리에 앉는 것은 한 가지 경우밖에 없었습니다 왜냐하면 아직 앉지 않은 사람이 한 명밖에 남지 않았기 때문입니다 그럼 총 몇 가지의 경우의 수가 있는 것일까요? 3 곱하기 2 곱하기 1은 6입니다 그러므로 만약 이와 비슷한 유형을 풀게 된다면- 예로 5개의 자리가 있는 유형을 풀어 보도록 합시다 꽤 재미있을 것입니다 자, 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 개의 자리가 있습니다 다섯 개의 자리에 다섯 명의 사람들이 앉고 싶어하는데 다른 사람들이 각 자리에 앉을 수 있는 시나리오의 경우의 수를 구해 봅시다 첫 번째 자리에 앉을 수 있는 사람은 5명의 서로 다른 사람들이 있습니다 이 5가지 경우에 대해 아직 앉지 않아서 2번 자리에 앉을 수 있는 사람들은 총 4명입니다 또 이 경우들에 대해 아직 앉지 않은 사람들은 3명입니다 자리를 순서대로 채워 나가는 것이라면 3번 자리에 앉을 수 있는 사람은 3명입니다 또 이에 대해 아직 앉지 않은 사람들은 2명입니다 그 2명은 4번 자리에 앉을 수 있습니다 이 모든 시나리오에 대해 아직 앉지 않아서 5번 자리에 앉을 수 있는 사람은 딱 한 명 뿐입니다 이는 아까 문제와 유형이 똑같습니다 단지 의자 개수가 2개 더 늘어났으며 총 경우의 수는 5x4x3x2x1일 것입니다 계산을 해 보면 20x6이고 총 120가지의 시나리오가 나옵니다 시나리오의 개수가 꽤 금방 커진다는 것을 알 수 있습니다 이제 여러분은 이렇게 생각할 것입니다 "와 이거 좀 신기하다 3 곱하기 2 곱하기 1이라니 "아니면 5x4x3x2x1이라니 "어떤 수의 경우에 그 수부터 그 수보다 하나씩 작은 수를 차례로 곱해서 1이 될 때까지 곱하면 되는구나, 이거 되게 재미있는 수학 공식이다" 그리고 다행히도, 아니 어쩌면 불행일지도 모르겠군요- 이 공식을 발견해 내어 유명해질 기회였을 텐데 말이에요- 이 공식은 이미 정의되어 있습니다 팩토리얼이라고 하지요 여기 있는 식은 3 팩토리얼과 같습니다 여기 있는 식은 3 팩토리얼과 같습니다 팩토리얼 기호는 느낌표 ! 입니다 여기 있는 이 식은 5 팩토리얼과 같습니다 일반화를 하자면, 제가 6 팩토리얼이라고 했을 때 그것은 6x5x4x3x2x1과 같은 값일 것입니다 그것은 6x5x4x3x2x1과 같은 값일 것입니다