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방 안에 4사람이 있다고 생각해봅시다. 사람들의 이름을 정하는 일이 짜증날 수도 있지만 저는 계속하겠습니다.(웃음) 방 안에 있는 4사람의 이름은 A,B,C,D입니다. 방안의 4사람이 서로 모른다고 가정하고 서로 만나야하고 정확히 한번씩 방안의 모든사람이 만나서 악수를 해야한다고 합시다. 여기서 여러분께 드리는 질문은 방안의 사람들이 서로의 손을 한번씩 잡아야 할 때 총 몇번의 악수가 필요할까요? 이 상황에서 일어날 악수의 개수 말입니다. 잠깐 이 동영상을 멈추고 이 문제를 해결해보세요. 자, 한번 시도해봤으리라 생각합니다. 첫번째 방법으로는 악수를 하기 위해선 두사람이 필요합니다. 3사람, 4사람이 하는 그런 악수말고 저는 전통적으로 두사람이 하는 악수를 말하고 있습니다. 그래서 이 상황에서는 두사람이 있습니다. 자신의 손과 악수하는 경우는 없고 항상 다른 사람의 손과 악수하기 때문에 한 사람에게 4사람과의 악수가 가능합니다. 다른 사람은 3개의 악수가 가능합니다. 그러므로 당신은 4×3개의 악수가 가능하다고 말할 것입니다. 저는 여러분들이 이것이 맞는 말인지, 진짜 12개의 악수가 나타날지 생각해보셨으면 좋겠습니다. 여러분들은 한번씩 생각해봤을 수도 있습니다. 4×3이 사실 순열을 세고 있음을 말입니다. 이는 4사람을 2개의 순열로 배치하는 방법을 말합니다. 이때 두사람이 각각 어떤사람인지 고려합니다. 악수하는사람1이던 악수하는사람2이던 말입니다. 이는 A가 악수하는사람1이고 B가 악수하는사람2가 되는 경우와 B가 악수하는사람1이고 A가 악수하는사람2가 되는 경우를 다르게 봅니다. 그러나 우리는 이 두 경우가 동시에 일어나지 않기를 바랍니다. 우리는 한번은 A가 북쪽을 향하고 B가 남쪽을 향할 때 악수하고 B가 북쪽을 향하고 A가 남쪽을 향할 때 한번 더 악수하는 일이 일어나지 않기를 바랍니다. 한번씩만 해야합니다. 이 2개는 같은 것입니다. 2개가 둘다 일어날 필요가 없습니다. 우리는 이중계산을 하게 될 것입니다. 우리가 진짜로 하고 싶은 일은 조합에 대해 생각해보는 것입니다. 조합에 대해 생각해보는 첫번째 방법은 4사람만이 있는 세상에서 2개를 정하는 방법에는 몇개가 있을까요? 이것이 바로 우리가 하고 있는 일이니까요. 각각의 악수는 결국 이 사람들 중 2사람을 선택하는 일입니다. 두사람을 선택하는 방법에는 몇개가 있을까요? 각각의 조합, 즉 두사람을 선택하는 각각의 방법은 다른 사람들의 조합으로 이루어져야 합니다. 2개가 같은 사람으로 이루어졌다면, 여기에 있는 A와 B는 결국 같은 조합입니다. 그러므로 이 문제는 조합문제입니다. 이는 4사람 중 2사람을 선택하는 방법에는 몇개가 있는지와 동일합니다. 4사람을 2개로 순열배치하는 방법을 말합니다. 이는 우리가 이쪽에서 알아낸 것처럼 4×3, 즉 12이고 어디서 이 수가 왔는지 여러분이 더 잘 볼 수 있게 초록색으로 표시하겠습니다. 2사람을 배열하는 방법의 수로 나눌 것입니다. 한사람이 왼쪽에 있고 다른사람이 오른쪽에 있을때와 한사람이 오른쪽에 있고 다른사람이 왼쪽에 있을 때처럼 2사람을 배열하는 방법에는 2가지가 있습니다. 또는 2!로 나눌수도 있는데, 2!는 2와 동일하기 때문입니다. 그러므로 여기에 2를 쓸 수 있는데, 여기서 2는 2사람을 배열하는 방법의 수입니다. 여기 위쪽에 있는 수는 4사람을 2개로 순열배치한 수입니다. 여기서 고려해야하는 것은 순서입니다. 아래쪽에 있는 2는 이러한 이중계산을 고쳐줍니다. 공식에 대입해서 풀고싶다면 풀어도 괜찮습니다. 저는 한번 더 증명한 것 뿐입니다. 4×3은 12이고 2사람을 배열하는 방법에는 2가지 방법이 있으므로 이중계산을 고려해서 2로 나누어준다면 6이라는 값을 얻게 될 것입니다. 이쪽에 있는 방법으로도 생각할 수 있고 단순히 공식에 대입해서 풀 수도 있습니다. 4개에서 2개를 고르는 방법의 수는 4!을 2!×(4-2)!로 나눈 것이 됩니다. 공식에 잘 대입할 수 있도록 2를 다른 색깔로 표시하겠습니다. 이는 4×3×2×1을 2×1×2×1로 나눈 것과 같은데, 아래쪽의 2×1은 위의 2×1을 약분시키고 아래쪽의 2로 위의 4를 나누면 2가 되므로 2×3을 1로 나눈 값은 6이 됩니다. 요점에 이르기 위해 실제로 그려봅시다. A는 B와 악수할 수 있고 A는 C와 악수할 수 있고 A는 D와 악수할 수 있습니다. 우리가 앞에서 계산한 12처럼 해봅시다. B는 A와 악수할 수 있고 B는 C와 악수할 수 있고 B는 D와 악수할 수 있습니다. C는 A와 악수할 수 있고 C는 B와 악수할 수 있고 C는 D와 악수할 수 있습니다. 그리고 D는 A와 악수할 수 있고 D는 B와 악수할 수 있고 D는 C와 악수할 수 있습니다. 총 12개의 경우가 생깁니다. 이것이 순열입니다. D가 C와 악수하는 것과 C가 D와 악수하는 것이 달랐다면 우리는 12개의 경우를 셀 것입니다. 그러나 이 두사람은 한번씩만 만나야 합니다. 우리는 여기서 이중계산을 하고 있는 것이죠. 그러므로 AB는 BA와 같고 AC는 CA와 같고 AD는 DA와 같고 BC는 CB와 같고 BD와 DB는 같고 CD는 DC와 같습니다. 마지막에 이중계산을 고려해서 고친다면 총 6개의 조합을 구할 수 있습니다. 순서와 각 조합의 사람들을 고려할 때, 4사람중 2사람을 선택하는 6개의 방법을 구할 수 있습니다.