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주어진 신뢰구간에 대한 임계값(z*)

동영상 대본

엘레나는 단일표본 z-구간을 통해 엘레나는 단일표본 z-구간을 통해 공장에서 만들어진 컴퓨터 중 몇 대가 특정 결함을 가지고 있는지 알아내려고 합니다 엘레나는 94% 유의수준을 택했습니다 크기가 200인 임의의 표본을 골랐을 때 12대의 컴퓨터에 결함이 있었습니다 엘레나는 신뢰구간을 계산하기 위해 어떤 임계점의 z-값을 이용해야 할까요? 동영상을 멈추기 전에 임계값이 무엇인지 잠깐 상기시켜 드리겠습니다 신뢰구간을 계산하기 위해서는 모비율이 있어야 합니다 이 경우에는 결함이 있는 컴퓨터의 비율이죠 이 경우에는 결함이 있는 컴퓨터의 비율이죠 그러므로 어떤 실제 모비율이 존재합니다 그 값은 정확히 모르지만 추정할 수는 있습니다 표본을 추출한 후 이 경우에는 크기가 200인 임의의 표본이죠 이 경우에는 크기가 200인 임의의 표본이죠 표본비율을 계산하여 모비율을 추정합니다 표본비율을 계산하여 모비율을 추정합니다 그러면 후에 신뢰구간을 구해야 합니다 유의수준이 94%인 신뢰구간은 유의수준이 94%인 신뢰구간은 이것을 계속해서 그 통계량으로 신뢰구간을 만들어 보면 이것의 신뢰구간은 이렇고 다시 했을 때 신뢰구간은 이런데 다시 했을 때 신뢰구간은 이런데 다시 했을 때 신뢰구간은 이런데 이 작업을 계속해서 수행했을 때 이 작업을 계속해서 수행했을 때 이 구간들 중 약 94%가 모비율을 포함하고 있다는 뜻입니다 이 구간들 중 약 94%가 모비율을 포함하고 있다는 뜻입니다 이는 통계량을 이용해 구한 것입니다 일반적인 형태로 표기해 보겠습니다 비율을 다루지 않는 경우도 있으니까요 모평균을 추정하는 경우도 있으니까요 통계량을 이용하여 그 통계량에 특정 값을 더하거나 빼야 하는데 그 통계량에 특정 값을 더하거나 빼야 하는데 표본분포 표준편차의 몇 배를 갈지 정합니다 표본분포 표준편차의 몇 배를 갈지 정합니다 표본분포 표준편차의 몇 배를 갈지 정합니다 여기서 표준편차의 몇 배만큼을 더하고 빼는지 이것이 임계값입니다 그런 다음 거기에 통계량의 표준편차를 곱해 줍니다 그런 다음 거기에 통계량의 표준편차를 곱해 줍니다 그런 다음 거기에 통계량의 표준편차를 곱해 줍니다 그런 다음 거기에 통계량의 표준편차를 곱해 줍니다 이 경우에서 통계량은 엘레나가 단일표본으로 구한 표본비율입니다 통계량은 엘레나가 단일표본으로 구한 표본비율입니다 따라서 엘레나가 구한 단일표본비율에 따라서 엘레나가 구한 단일표본비율에 z^*를 더하거나 뺀 값에 z^*가 얼마인지는 조금 있다가 구해보겠습니다 z^*가 얼마인지는 조금 있다가 구해보겠습니다 임계값을 더하거나 뺀 값에 어떤 값을 곱해야 하는지 살펴봅시다 표본비율의 표본분포에서 실제 표준편차를 구하려면 표본비율의 표본분포에서 실제 표준편차를 구하려면 모수를 알아야 합니다 모수를 알아야 합니다 하지만 그것이 불가능하므로 이 값에 통계량의 표준오차를 곱합니다 이 값에 통계량의 표준오차를 곱합니다 이것은 이전동영상에서도 했던 계산이죠 여기서 중요한 것은 z^*가 어떤 값인가 하는 것입니다 그리고 생각해 보아야 할 것은 표본분포가 정규분포를 따를 때 그리고 이 값이 평균, 실제 모수일 때 그리고 이 값이 평균, 실제 모수일 때 우리가 모르는 값이죠 94%의 확률을 포함하려면 이 평균을 기준으로 표준편차의 몇 배를 더하고 빼야 할까요? 표준편차의 몇 배를 더하고 빼야 할까요? 넓이의 94% 말입니다 이 영역이 94%라고 한다면 이 영역이 94%라고 한다면 이만큼의 표준편차가 z^*입니다 이만큼의 표준편차가 z^*입니다 이제는 표준정규분포표만 살펴보면 됩니다 이제는 표준정규분포표만 살펴보면 됩니다 이 때 조심할 것이 있습니다 어떤 종류의 표를 보아야 하는지 또는 계산기를 사용한다면 어떤 함수를 사용하는지 유의해야 합니다 또는 계산기를 사용한다면 어떤 함수를 사용하는지 유의해야 합니다 많은 표준정규분포표가 이렇기 때문입니다 많은 표준정규분포표가 이렇기 때문입니다 주어진 z에 대해 음의 무한대부터 평균으로부터 표준편차 z배 이상까지의 넓이를 제공합니다 평균으로부터 표준편차 z배 이상까지의 넓이를 제공합니다 평균으로부터 표준편차 z배 이상까지의 넓이를 제공합니다 따라서 많은 표준정규분포표에서는 바로 이 넓이를 구할 수 있습니다 이렇게 생각할 수 있습니다 어떤 임계값, z-값을 찾는데 어떤 임계값, z-값을 찾는데 색칠되지 않은 영역이 6%가 아니라 3%인 값을 구하는 것입니다 왜 그렇냐고요? 100%에서 94%를 빼면 6%입니다 이 분포는 왼쪽과 오른쪽이 서로 대칭이므로 이 분포는 왼쪽과 오른쪽이 서로 대칭이므로 이 3% 영역이 색칠되지 않아야 합니다 그리고 여기의 3%도요 전형적인 표준정규분포표를 보면 누적되는 넓이를 생각했을 때 누적되는 넓이를 생각했을 때 여기 3%가 색칠되지 않게 하는 z-값을 찾으려고 하는 것입니다 여기 3%가 색칠되지 않게 하는 z-값을 찾으려고 하는 것입니다 즉 색칠되는 영역이 97%가 되어야 합니다 94%가 아니라요 이 z 값ㅇ르 찾아서 여기에서 멈추고 3%를 남겨 두면 색칠되는 실제 영역이 94%가 됩니다 그러면 표를 봅시다 어떤 z 값이 97%의 영역을 색칠할까요? 표준정규분포표를 봅시다 이것은 여러분이 AP 통계학 시험을 본다면 보게 될 표입니다 그러면 어떤 값에서 97%를 얻을 수 있는지 봅시다 이 값이 97%입니다 바로 여기 있네요 이 값이 가장 가까운 수입니다 이 값은 0.97보다 0.0006 크고 이 값은 0.97보다 0.0001 작습니다 그러므로 이 값을 사용합시다 먼저 가로줄을 보겠습니다 가로줄은 1.8이고 세로줄까지 보면 1.88이 z 값이 되네요 세로줄까지 보면 1.88이 z 값이 되네요 그러면 이제 여기로 되돌아와서 z-값이 1.88이면 그러니까 이 값이 1.88이면 평균보다 표준편차 1.88배 큰 값인 여기까지의 영역의 넓이가 평균보다 표준편차 1.88배 큰 값인 여기까지의 영역의 넓이가 97%가 됩니다 하지만 평균에서 표준편차 1.88배를 더한 값과 표준편차 1.88배를 뺀 값 사이의 구간을 생각해 보면 표준편차 1.88배를 뺀 값 사이의 구간을 생각해 보면 양쪽 끝에 3%가 남습니다 그러므로 94%가 됩니다. 즉 이 영역의 넓이가 94%가 됩니다 문제는 임계값 z^*를 물어보고 있으니 문제는 임계값 z^*를 물어보고 있으니 답은 1.88입니다 답은 1.88입니다