비율에 대한 z 구간 해석하기

비율에 대한 신뢰구간을 한 번 만들면, 모집단에 대하여 구간이 무엇을 알려주는지, 무엇을 알려주지 않는지 해석할 줄 알아야 합니다. 몇 가지 예시를 통해 비율에 대한 신뢰구간을 해석하는 방법을 살펴봅시다.

아마드는 미국 성인의 $57\mathrm{\%}$‍가 세 번째 정당의 필요성을 느낀다는 기사를 보았습니다. 자신이 다니는 대학교의 학생들이 이 주제에 대해 어떻게 생각하는지 궁금해졌고, 학생 $100$‍명의 임의표본을 추출하여 물어보고 세 번째 정당이 필요하다고 생각하는 학생들의 비율을 추정하기 위해 $95\mathrm{\%}$‍의 신뢰구간을 만들었습니다. 만들어진 구간은 $(0.599,0.781)$‍입니다. 추론을 위한 모든 조건이 만족한다고 가정합니다.

그렇지 않습니다. 구간에 따르면 실제로 가능한 비율은 $59.9\mathrm{\%}$‍와 $78.1\mathrm{\%}$‍ 사이입니다. 구간에는 $57\mathrm{\%}$‍가 포함되지 않으므로, 학생의 $57\mathrm{\%}$‍가 동의한다고 할 수 없습니다. 즉, 전체 구간은 $57\mathrm{\%}$‍ 위에 있으므로, 실제 비율은 더 높을 것입니다.

아마드의 누나, 디에드라는 자신이 다니는 고등학교의 학생들에게 같은 질문에 대하여 어떻게 대답하는지 궁금해졌고, 고등학생 $100$‍명의 임의표본을 추출하여 물어보았습니다. 또한 세 번째 정당이 필요하다고 생각하는 학생들의 비율을 추정하기 위해 $95\mathrm{\%}$‍의 신뢰구간을 만들었습니다. 그 결과 구간은 $(0.557,0.743)$‍입니다. 추론을 위한 모든 조건이 만족한다고 가정합니다.

네. 구간에는 $57\mathrm{\%}$‍가 포함되므로, 모비율에 대하여 가능한 값입니다.

아니요. 신뢰구간은 매개변수가 특정 값과 동일하다는 증거를 제공하지 않습니다; 가능한 값의 범위를 제공합니다. 디에드라의 구간에 따르면 동의하는 학생들의 비율이 $55.7\mathrm{\%}$‍보다 크고 $74.3\mathrm{\%}$‍보다 작습니다. 그리고 구간 외의 값은 불가능합니다. 따라서 이 구간이 $57\mathrm{\%}$‍을 뜻한다고 할 수 없습니다.

한 비디오 게임에서 플레이어가 적을 물리치면 보상으로 코인을 받습니다. 게임 개발자는 플레이어가 더 어려운 적을 물리칠 때 보너스 코인을 받을 기회를 제공합니다. 적을 물리치면 $30\mathrm{\%}$‍ 확률로 보너스를 주게끔 게임을 프로그램합니다.

보너스가 의도한 대로 나왔는지 확인하기 위해서, 개발자는 적을 연속으로 $100$‍번 물리쳐 보았습니다(임의표본을 추출하였다고 가정합니다). 보너스가 나왔는지 한 번씩 물리친 다음 기록합니다. 결과를 이용하여 보너스가 나온 횟수의 비율인 $p$‍에 대한 $95\mathrm{\%}$‍의 신뢰구간을 만듭니다. 그 결과 구간은 $(0.323,0.517)$‍입니다.

비디오 게임의 개발자는 또한 어려운 적을 물리쳤을 때 희귀 아이템을 얻는 기회를 제공하고자 합니다. 적을 물리치면 $15\mathrm{\%}$‍의 확률로 희귀 아이템이 나오게끔 프로그램합니다.

희귀 아이템이 의도한 대로 나왔는지 확인하기 위해서, 개발자는 적을 연속으로 $100$‍번 물리쳐 보았습니다(임의표본을 추출하였다고 가정합니다). 아이템이 나왔는지 한 번씩 물리친 다음 기록합니다. 결과를 이용하여 아이템이 나온 횟수의 비율인 $p$‍에 대한 $95\mathrm{\%}$‍의 신뢰구간을 만듭니다. 그 결과 구간은 $0.12\pm 0.06$‍ 입니다.