주어진 평균에 대한 오차범위의 표본 크기

나디아는 다니는 회사에서 만든 새로운 전기차의 평균 주행거리를 측정하기 위해 신뢰구간을 만들고자 합니다 90%의 신뢰구간에서 오차범위가 10km를 넘지 않게 만듭니다 이런 차량의 주행거리의 표준편차는 이런 차량의 주행거리의 표준편차는 15km입니다 원하는 오차범위가 나오도록 하는 최소 표본의 크기에 가까운 것은 다음 중 무엇일까요? 강의를 멈추고 스스로 해봅시다 전형적으로 해결하는 방법은 표본을 추출하여 평균에서 오차범위를 더하고 빼면서 신뢰구간을 만드는 것입니다 신뢰구간을 만드는 것입니다 좋습니다 평균이 있구요 여기서 모집단의 표준편차를 모른다면 t 통계량을 사용합니다 임계값 t* × 표본표준편차 ÷ √표본의 크기 문제는 표본의 크기를 구하는 것입니다 90%의 신뢰도에서 말이죠 여기서 주의할 점이 있죠 여기서 t 분포표를 사용할 때 90%의 신뢰도 뿐만 아니라 자유도 또한 알아야 합니다 자유도는 n-1 입니다 하지만 n을 모른다면 소용이 없죠 n을 어떻게 구할까요? 마찬가지로 표본표준편차도 모릅니다 표본을 추출하기 전까지는 말이죠 표본을 추출하기 전까지는 말이죠 이 방법 대신 신뢰구간과 오차범위를 설계할 수 있는 적절한 방법이 있습니다 표본평균 ± 표본평균 ± 임계값 z* 표준정규분포에서 구합니다 × 모표준편차 / √n × 모표준편차 / √n 그런데 모표준편차를 모르지 않나요? 그런데 모표준편차를 모르지 않나요? 문제에 나와 있죠 이런 차량의 표준편차는 15km입니다 이를 모표준편차로 이용할 수 있습니다 이 값은 15km입니다 표준정규분포표에서는 자유도가 필요없습니다 바로 신뢰구간을 찾을 수 있죠 이렇게 나타낼 수 있죠 z* × 15/√n z* × 15/√n 이 값이 오차범위입니다 이 값이 오차범위이고 10km가 넘어가면 안됩니다 10보다 작거나 같아야겠죠 90%의 신뢰구간에서 z*의 값이 무엇인지 구하면 n을 구할 수 있죠 해봅시다 표준정규분포표를 이용하여 z*를 구할 수 있지만 다양한 방법을 알려주기 위해 계산기를 사용하겠습니다 90%의 신뢰구간에서 z의 값을 구합니다 invNorm 기능을 사용합니다 이 기능을 선택합니다 이 기능을 선택합니다 이제 해야할 것은 정규곡선에서 면적을 입력하고 평균과 표준편차를 입력합니다 평균이 0이고 표준편차가 1이라면 z의 값은 무엇이 될까요? 이에 대응하는 면적을 입력합니다 이에 대응하는 면적을 입력합니다 이렇게 선택한 것처럼 중심 면적이 90%가 되도록 합니다 0.9를 입력합니다 왼쪽 꼬리면적은 중심면적이 90%니까 양쪽 꼬리면적이 5%씩 되겠죠 꼬리면적을 구할 때 0.9 대신에 0.05를 넣어줍니다 0.05를 넣어줍니다 지금 이 상태가 원하던 모습입니다 복사합니다 이것을 계산하면 적절한 z값이 나올 것입니다 계산해 봅시다 중심이 90%이라면 대략 1.645가 되네요 대략 1.645가 되네요 평균에서 같은 값만큼 차이가 납니다 여기서 임계값은 대략 1.645라고 합시다 다시 써보면 1.645 × 15 / √n ≤ 10 이런 방법은 여러가지입니다 계산하면 식이 간단해지겠죠 한번 스스로 해보세요 아니면 보기의 값들을 대입하여 어떤 값이 성립하는지 확인하고 그 중 가장 작은 것을 택하면 되겠죠 식을 정리하는게 낫겠네요 값을 대입하면서 구한다면 정답이 여러 개가 되겠죠 신뢰구간을 만들기 위해서 표본의 크기를 구하는 것입니다 해봅시다 해봅시다 양변을 1.645×15 로 나누면 어떻게 되나요? 1/√n ≤ 1/√n ≤ 10 / (1.645×15) 10 / (1.645×15) 양변에 역수를 취하면 √n ≥ 이 값의 역수는 이 값의 역수는 1.645×15 / 10 1.645×15 / 10 1.645×15 / 10 1.645×15 / 10 15/10 = 1.5 1.5로 쓰겠습니다 양변에 제곱을 취하면 n ≥ (1.645×1.5)² n ≥ (1.645×1.5)² n ≥ (1.645×1.5)² n ≥ (1.645×1.5)² n ≥ (1.645×1.5)² n ≥ (1.645×1.5)² 계산기를 다시 꺼내볼까요 (1.645×1.5)² 대략 6.09가 나오네요 대략 6.09가 나오네요 대략 6.09가 나오네요 n ≥ 6.09 표본의 크기는 정수입니다 표본의 크기는 정수입니다 따라서 6.09보다 크면서 제일 작은 정수는 7입니다 이 보기가 정답입니다 이 값을 통해 원하는 오차범위를 얻을 수 있습니다 실제로 연구를 실시하기 전까지는 아무도 모릅니다 이 값은 모표준편차입니다 이 값은 모표준편차입니다 그리고 표준정규분포표를 사용합니다 90%의 신뢰구간에서 오차범위가 10km 이내인지 확인할 수 있겠죠