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평균에 대한 t 구간 설정하기 예제

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한 영양사는 유명 레스토랑에서 파는 부리또의 평균 칼로리 함유량을 추정하고자 합니다 부리또 14개의 임의표본을 추출하고 칼로리 함유량을 측정합니다 그 표본 자료는 대칭을 이루고 평균이 700칼로리 표준편차가 50칼로리입니다 이 표본을 바탕으로 다음 중 이 부리또들의 평균 칼로리 함유량에 대한 95% 신뢰구간은 무엇일까요? 강의를 멈추고 스스로 풀어봅시다 어떻게 풀까요? 여기 부리또 모집단이 있습니다 이것은 구하고자 하는 평균 칼로리 함유량입니다 하지만 실제 모수 즉, 모평균을 모르므로 하지만 실제 모수 즉, 모평균을 모르므로 부리또 14개를 추출하고 표본 통계량을 계산합니다 표본평균을 계산한 결과 700이고 표준편차를 계산한 결과 50입니다 이 자료를 이용하여 95%의 신뢰구간을 만들고자 합니다 따라서 신뢰구간은 이러한 형태를 지닙니다 이전에 보았던 형태죠 표본평균 ±임계값 ×표본표준편차 ÷√n t 통계량을 사용하는 이유는 모집단의 실제 표준편차를 모르기 때문입니다 모집단의 표준편차를 알고 있었다면 표본표준편차 대신 사용했겠죠 즉, 모수인 σ를 사용한다면 즉, 모수인 σ를 사용한다면 z 통계량을 사용할 수 있겠죠 z 분포를 사용할 수 있습니다 하지만 표본표준편차를 사용하기 때문에 t 통계량을 사용하는 것입니다 한번 해봅시다 어떻게 될까요? 표본평균은 700입니다 따라서 700± 따라서 700 ± 그렇다면 95% 신뢰구간에서 임계값은 무엇일까요? 표준정규분포표를 살펴보죠 표준정규분포표를 살펴보죠 자유도를 신경써야 하는데 표본의 크기가 14라면 14 - 1이므로 자유도는 n - 1 입니다 14 - 1 = 13 14 - 1 = 13 따라서 자유도는 13입니다 표준정규분포를 볼 때 주의하도록 합니다 이제 살펴볼까요? 자유도가 13인 95%의 신뢰구간 여기 자유도 13이 있네요 자유도 13 이 행을 따라갑니다 95%의 신뢰구간을 찾는다면 꼬리 확률이 분포에서 자그맣게 그립니다 이 조그마한 분포에서 중간 면적이 95%가 되려면 색칠되지 않은 양쪽 끝이 5%고 절반으로 나뉩니다 양 끝이 각각 2.5%가 되고 양 끝이 각각 2.5%가 되므로 꼬리확률이 2.5%인 항목을 찾으면 됩니다 여기 0.025가 있네요 이는 2.5%죠 열 따라 내려가면 임계값이 2.160이네요 따라서 이 값은 따라서 이 값은 더 짙은 색으로 할게요 2.160 × 표본표준편차는 50이고 여기에 √n 즉 √14를 나눕니다 여기에 √n 즉 √14를 나눕니다 모든 보기에 700이 있으므로 오차범위를 구해야 합니다 오차범위를 구해야 합니다 계산해보죠 2.160 0은 사실 중요하지 않죠 × 50 ÷ √14 28.86이 나오네요 이 값은 대략 28.86입니다 이것이 오차범위죠 보기들 중에서 골라보죠 소수 둘째 자리에서 반올림하면 28.9가 되네요 따라서 이 값은 28.9입니다 이 보기가 정답이네요 제일 근사합니다 적절한 소수점까지 표현하여 정답을 구해야겠죠 따라서 95% 신뢰구간을 구했습니다 명심할 점이 있습니다 이 신뢰구간이 유효할까요? 이 신뢰구간이 조건을 만족하나요? 잘 생각해 보세요 임의표본인가요? 문제에서 부리또 14개의 임의표본을 추출했다고 하였습니다 표본분포가 정규분포를 따르나요? 표본의 크기가 30이 넘으면 성립하지만 표본의 크기는 14입니다 하지만 표본자료가 대칭을 이룬다고 나와있었죠 특이점 없이 대칭을 이룬다면 정규분포를 따른다고 가정해도 무방합니다 가정해도 무방합니다 마지막 조건은 독립성 조건입니다 표본을 복원추출하였나요? 그렇지 않아 보이네요 복원추출하지 않는다면 이 값이 모집단의 10% 미만이 되어야 하는데 그렇다면 모집단이 140 이상이어야 합니다 140 이상이어야 합니다 따라서 독립성 조건도 만족합니다 신뢰구간을 만든 결과 신뢰구간을 만든 결과 이 복가 정답이겠네요