이항확률 예제

자유투를 성공할 확률을 알고있다고 해 봅시다 확률을 알고있습니다 말했듯이, 자유투를 성공할 확률이요 이제 자유투의 성공 확률을 정할 겁니다 얼마로 정하는게 좋을까요? 제가 한 번 정해 보겠습니다 자유투를 성공할 확률이, 70%라고 해 봅시다 이 확률을 퍼센트말고 다른 걸로 표기하려고 한다면 0.7이라고도 할 수 있겠죠 소수로 적는다면 말이죠 실패를 할 확률을 생각해 봅시다 이 확률은 우리가 여기에 적은 것에서 확인해 볼 수 있습니다 실패를 할 확률은 100%에서 성공 확률을 빼는 것입니다 누구나 득점을 하거나 실패를 하게되는데 이 방법대로 계산을 하면 실패를 하게 될 확률은 아마도 30%일 것입니다 소수로 적는다면 0.3이 되겠죠 1 - 0.7은 0.3이니깐요 자유투에는 두 경우 밖에 없으니 득점과 실패 확률을 더하면 100%가 되겠죠 소수로 하면 1이 되겠고요 이제 자유투를 여섯 번 해볼 것입니다 여기서 우리가 궁금한 것은 여섯 번의 시도 가운데 두 번 득점하는 경우 입니다 이제 계산해 봅시다 이 비디오를 통해 얻고자하는게 있다면 비디오를 일시중지하고 이 질문에 대한 답을 찾아보세요 질문은 바로 여섯 번의 시도를 통해 두 번 득점하는 확률입니다 이 질문을 해결할 방법을 찾아봅시다 여섯 번의 시도 중 두 번 득점하는 특정한 방법 말입니다 그 방법들 가운데 확률에 대해 생각해 봅시다 여섯 번의 시도 중 두 번 득점하는 방법에는 얼마나 많은 경우의 수들이 있을까요? 예를 들어봅시다 처음 두 자유투에서 점수를 얻고 나머지 네 자유투에서 공을 넣지 못했습니다 득점, 득점, 실패, 실패, 실패, 실패가 되겠죠 이 일이 발생할 확률은 얼마일까요? 정확할 확률말이에요 첫 번째 자유투에서 0.7의 확률로 득점 했습니다 두 번째 자유투에서 같은 확률로 득점을 했네요 그리고 나머지 네 자유투에서 0.3의 확률로 실패를 했습니다 이런 상황이 발생할 확률은 지금 제가 적고있는게 되겠죠 곱셈 기호와 소수점이 헷갈리지 않기를 바라요 헷갈리지 않게 곱셈 기호를 더 위에 적어볼게요 이거를 계산하면 얼마가 될까요? 이 확률을 계산해봅시다 0.7의 제곱과 0.3의 네제곱을 곱한게 되겠죠 여섯 번 중 두번 만 득점할 경우가 이것 뿐일까요? 아니요 더 많은 방법들이 있답니다 예를 들어, 첫 번째 시도에서 실패하고, 두 번째 시도에서 득점하고, 세 번째 시도에서 실패하고, 네 번째 시도에서 득점하고, 나머지 두 번의 시도 모두 실패하는 경우가 있겠죠 실패하고 실패했습니다 이것은 여섯 번의 시도 중 두 번만 득점 할 또 다른 경우입니다 이 경우의 확률은 얼마일까요? 아시다시피, 위의 경우와 같을 것입니다 곱하는 순서만 다를 뿐이지요 0.3 곱하기 0.7 첫 번째 경우 0.3은 30%의 확률로 실패를 한다는 것을 의미하고 두 번째 경우 0.7은 70%의 확률로 득점한다는 것을 의미하겠죠 그리고 30%의 확률로 실패를 한다는 의미로 0.3을 곱하고 70%의 확률로 득점한다는 의미인 0.7을 곱해줍니다 남은 두 번의 실패하는 경우에 대해서 각각 30%의 확률로 실패한다는 의미에서 0.3씩 곱해주면 되겠죠 이 확률을 조금 정리해주면 0.7의 제곱에 0.3을 네제곱 한 것이 되겠죠 즉, 여섯 번의 시도 가운데 두 번만 득점할 경우의 수는 다음과 같이 되겠죠 6회 시도 중 2점을 얻을 확률은 위에서 구한 한 경우의 확률에 전체 경우의 수를 곱해주면 정확한 확률을 알 수 있게 되겠죠 이것이 우리가 구하고자 하는 확률입니다 여섯 번의 시도 중 두 번만 득점하면 된다면 얼마나 많은 경우의 수들이 있을까요? 이는 조합론의 문제입니다 이 문제를 조합으로 나타내 보겠습니다 여섯 번의 자유투 시도를 6C라고 적어봅시다 여섯 번 시도한다는 것을 의미하지요 그 중에서 득점할 두 번의 경우를 선택합니다 이는 6C2라고 적습니다 6C2는 여섯 번의 시도 중 두 번을 선택하는 경우의 수를 의미합니다 우리는 이를 이항 계수 기호로 나타낼 수 있습니다 이를 이항 계수로 표기하면 이런 수식으로 나타낼 수 있답니다 이 수식이 익숙하지 않다면 칸 아카데미에서 조합론을 찾아보세요 이 수식은 많은 의미를 갖는데요 이제 좀 더 자세히 살펴봅시다 이 수식은 6!을 2!과 (6-2)!을 곱한 것으로 나누는 것을 의미합니다 이것을 계산하면 얼마가 될까요? 이는 6 곱하기 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 1을 곱하는 것은 의미가 없지만 곱하기 1을 한 것을 2 곱하기 1로 나누는 것입니다 그리고 6-2는 4이므로 (6-2)!은 4!이 되어 이 수식을 4!로도 나눠야겠죠 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1로 나눠줍니다 약분을 하고 6은 2로 나누어 떨어지니 이것도 약분해 봅시다 계산을 하면 15가 되겠죠 6가지 중에 2가지를 선택하는 방법에는 15가지 다른 경우가 있음을 알 수 있습니다 즉, 여섯 번의 자유투 중 두 번만 득점하는 것에는 15가지 경우가 있다는 것입니다 이 경우의 확률은 바로 이 수식인데요 이제 이 확률을 계산해 봅시다 이는 6C2에 0.7의 제곱을 곱하고 0.3의 네제곱을 곱하는 것입니다 지수의 합을 6으로 맞춰야 합니다 만약 이 숫자가 2가 아니라 3이었다면, 0.7의 세제곱, 또 0.3의 세제곱을 해주었어야겠죠 6-3은 3이니깐요 값이 얼마가 될까요? 이를 계산해보면 3 곱하기 5 즉, 15에다가 0.7 곱하기 0.7인 0.49를 곱해줍니다 그리고 3의 네제곱은 81인데 소수점 아래 한자리의 소수이므로 이를 네제곱하면 소수점 아래 네자리가 있어야겠죠 즉, 0.3의 네제곱은 0.0081이 되는 것입니다 여기 수식이 완성되었네요 이제 이 식을 계산해 봅시다 즉, 15 곱하기 0.49 곱하기 0.0081은 0.059535가 됩니다 여기에 여백이 더 많으니 여기에 계산 결과를 눈에 띄는 색으로 적어볼게요 눈에 띄는 색을 이미 다 써버렸네요 조금 덜 눈에 띄는 색으로 적어볼게요 이 값은 0.05935가 됩니다 이 값을 대략적으로 보거나 가까운 퍼센트로 반올림하면 6%라는 값을 얻을 수 있습니다 즉, 여섯 번의 시도 가운데 두 번 득점하는 확률은 6%입니다 두 번 이상이 아니라 정확히 여섯 번의 시도 중 두 번만 득점하는 확률입니다 자유투 성공 확률이 높기 때문에 이것이 실현되는 것은 매우 낮은 확률입니다 만약 누군가가 이렇게 높은 자유투 성공률을 가지고 있다면 여섯 번의 시도 가운데 두 번만 득점한다는 것이 오히려 말도 안되는 것이겠지요