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주요 내용

벡터 문제 해결하기: 등산

며칠에 걸쳐 등산한 전체 거리의 직선거리를 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

케이타는 3일 전에 캠프에서 출발하여 정글 탐험에 떠났습니다. 이 3일 동안 그의 여정은 변위와 거리, 방향 벡터와 변위 벡터로 표현될 수 있습니다. 여기서 변위란 방향성을 띠는 거리를 말합니다. 벡터는 d1,d2, 그리고 d3가 있네요. 거리의 값은 km로 주어졌네요. 3일동안 여정을 했을 떄 캠프로부터 Keita의 거리는 얼마일까요? 생각해봅시다. 첫째 날 그의 시작점이 여기라고 해보죠. 그는 여기서 시작하여 여기로 이동하네요. 하지만 그의 이동을 거리를 고려하여 생각해보면, 여기에 작게 나침반을 그려보죠. 여기가 북, 동, 서, 남이라고 한다면 우리는 Keita가 동쪽으로 얼마나 갔는지 알 수 있고, 북쪽으로는 얼마나 갔는지 알 수 있겠네요. 그는 동쪽으로 7, 북쪽으로 8 이동했네요. 자, 이건 7이고 이건 8입니다. 둘째 날, 그는 6km를 이동했어요. 동쪽으로 6km. 그리고 북쪽으로 2km 이동했네요. 결국 그는 여기에서 멈추게 됩니다. 마지막으로 셋째 날에 그의 변위는 동쪽으로 2, 북쪽으로 9 입니다. 여기서 그가 셋째 날까지 얼마나 멀리 왔는지 알기 위해서는 총 변위를 계산해야겠죠. 이 모든 이동의 총합을 표현한 벡터의 길이는 얼마일까요? 이 벡터의 길이는 얼마일까요? 이걸 총 변위인 dt로 표현하죠. 이러면 총 변위가 d1, d2, d3의 합이라는 것을 알 수 있겠네요. 이 벡터를 합하기 위해서는 서로 대응되는 요소끼리 더하면 됩니다. 예를 들어 dt는 가로 방향, 즉 동쪽을 향하는 변위의 합 7+6+2가 되고 북쪽으로는 8+2+9가 됩니다. 따라서 총 변위 벡터는 동쪽으로 15, 북쪽으로 19가 됩니다. 여기에 있는 이 삼각형의 이 변의 거리는 19, 이게 바로 북쪽을 향한 총 변위라고 할 수 있죠. 동쪽을 향한 총 변위는 15이고요. 그렇다면 변위 벡터의 길이는 어느 정도일까요? 피타고라스 정리를 이용하면 15의 제곱 더하기 19의 제곱이 변위 벡터의 길이의 제곱값이 되겠죠. 변위 벡터의 길이가 15의 제곱과 19의 제곱의 합의 제곱근이기도 하네요. 이제 계산을 해봅시다. 15의 제곱 더하기 19의 제곱의 제곱근은 소수 첫째 자리까지 반올림하면 24.2가 됩니다. 따라서 답은 24.2km이네요. 그럼 캠프로부터 Keita의 방향은 어떨까요? 답은 0에서 180도, 1도로 반올림하면 되겠네요. 약간 질문이 애매하지만 대부분의 경우에서 방향성을 표현하는 각도를 나타낼 때 양의 x축을 동쪽 방향으로 생각하고 각도를 재야 돼요. 여기 있는 이 각도겠네요. theta라고 표현합시다. theta의 값을 어떻게 구할까요? 우리는 각 theta의 대변의 길이가 19이고 theta에 인접한 변의 길이가 15임을 알 수 있네요. tan 역함수를 사용해야겠네요. theta의 tan가 19/15이니까 theta는 19/15의 tan 역함수라고 할 수 있네요. 하지만 tan 역함수는 보통 -π/2와 π 사이의 값이 나와요. 하지만 우리는 각도로 계산하기 때문에 범위는 -90도에서 90 사이네요. 이 경우에서는 범위를 0에서 90도로 또 좁힐 수 있습니다. 따라서 우리가 tan 역함수를 통해 구한 값을 조금 바꿔야겠네요. theta는 19/15의 tan 역함수입니다. 계산기로 계산해보죠. 반올림해서 52도가 나오네요. 52도, 맞는 거 같습니다. 답은 52도입니다.