벡터의 스칼라 곱셈

이번 영상에서는 백터와 스칼라의 곱셈을 연습하고 스칼라의 곱셈에 대한 직관력을 늘이고자 합니다 스칼라의 곱셈에 대한 직관력을 늘이고자 합니다 이때 백터에 스칼라를 곱한다는 말의 의미는 무엇입니까? 예를 들어, 2차원 벡터를 만든 다음에 벡터를 w가 있다고 가정합시다 이 벡터에 x성분 값을 집어넣겠습니다 x성분을 1이라 정의하고 y성분을 2라고 정의하겠습니다 그렇다면 벡터는 다음과 같이 그려집니다 사실 이런 벡터를 시각화하는 것은 꽤나 도움이 되는 일입니다 먼저 축을 여기에 그리겠습니다 이건 x축이고 이건 y축입니다 그리고 벡터를 표준형으로 그리기 위하여 시작점을 이 부분에 넣겠습니다 시작점을 이 부분에 넣겠습니다 그 다음 끝점은 1, 2일 것입니다 그 다음 끝점은 1, 2일 것입니다 그래서 x성분은 1이고 y성분은 2일 것입니다 이 벡터는 이런 모양을 띄울 것입니다 시작점은 여기 있고 끝점은 여기 있을 것입니다 벡터를 표준형으로 그래프를 그리거나 시각화한다면 이렇게 보일 것입니다 이제 저는 같은 벡터를 가지고 길이나 방향이 바뀌지 않는 한 어느 위치에나 움직이고 다닐 수 있습니다 그럼에도 불구하고 이 벡터는 같은 방향을 가리킬 것입니다 또한 특별한 조건이 제시되지 않는 이상 시작점은 원점일 것입니다 이제 벡터를 스칼라와 곱하겠습니다 이때 스칼라란 무엇입니까? 벡터는 길이와 방향을 가진 것입니다 벡터는 길이와 방향을 가진 것입니다 스칼라는 길이만 가진 것입니다 여러분은 4살 때 배운 숫자들을 스칼라라고 생각하면 됩니다 스칼라라고 생각하면 됩니다 예를 들어, 3 x w는 무엇입니까? 3 x w는 무엇입니까? 3 x w는 무엇입니까? 3w입니다 3w에서 3은 스칼라이고 w는 벡터입니다 이제 관례적으로 스칼라를 곱할 때 각각 성분들에 스칼라를 곱합니다 각각 성분들에 스칼라를 곱합니다 계산한 결과 이 값은 다음과 같을 것입니다 우리에게는 1, 2라는 값이 있고 우리는 각각의 성분에 3을 곱할 것입니다 3 x 1 을 계산하고 3 x 2는... 3 x 2는... 3 x 2는... 3 x 1 은 3이고 3 x 2 는 6입니다 그리고 우리는 이 벡터를 3w 벡터라고 표현하겠습니다 x성분은 3일 것이고 y성분은 6일 것입니다 시작점에서 이것을 그리면 x성분은 3일 것이고 y 성분은 2,3,4,... 5, 6일 것입니다 y 성분은 2,3,4,... 5, 6일 것입니다 결과는 다음과 같이 나올 것입니다 다시 그려보겠습니다 다음과 같은 벡터가 나올 것입니다 지금 손으로 그리는 것이기 때문에 완벽히 맞지는 않을 것입니다 하지만 이렇게 나타납니다 그래서 이것은 3w 벡터입니다 제가 스칼라를 곱했을 때 생기는 변화에 대해 알아봅시다 길이만 바뀌고 방향은 바뀌지 않았습니다 여기 보시면 길이가 바뀐 것을 알 수 있습니다 3과 곱해져서 증가했습니다 제가 가리키는 파란 화살표는 자주색 화살표의 3배입니다 다른 예시를 들어보겠습니다 저는 같은 벡터 w를 이용하여서 음수의 스칼라와 곱해보겠습니다 벡터 w에 -2를 곱하겠습니다 벡터 w에 -2를 곱하겠습니다 벡터 w에 -2를 곱하겠습니다 그리고 이 값이 어떻게 될지는 모릅니다 그리고 이 값이 어떻게 될지는 모릅니다 그리고 이 문제는 그래프로 해결하면 됩니다 우리는 각 성분을 -2에 곱할 것입니다 그래서 x성분의 값은 1 × -2일 것입니다 1 × -2일 것입니다 그리고 y성분의 값은 2 × -2일 것입니다 따라서 이 벡터의 값은 (-2, -4)일 것입니다 여기에 그려보겠습니다 x성분의 값은 -2입니다 그래서 -1, -2입니다 그리고 y성분의 값은 -1, -2, -3... 제가 축을 약간 벗어난 것 같습니다 하지만 어쨋던 -4입니다 여기는 -2입니다 그래서 방향이 뒤로 가는 것입니다 화살표는 이런 모양의 화살표일 것입니다 그래서 이 화살표가 바로 벡터 -2w입니다 방금 어떤 일이 일어났는지 정리해보겠습니다 먼저 방향이 음수이기 때문에 180º 반대로 나아가는 것입니다 반대 방향과 같은 의미입니다 하지만 다른 방법으로 생각하면 이 둘은 결국 같은 선에 걸쳐있는 것입니다 음수 방향은 그저 반대로 뒤집은 것입니다 원래 벡터의 방향을 설명드리자면 보라색 벡터인 벡터 w가 이제 반대 방향으로 나아가는 것입니다 그리고 길이도 2배를 늘어났습니다 이 벡터의 길이는 기존의 길이보다 2배 깁니다 그리고 음수이기 때문에 방향이 반대방향이 된 것입니다 그래서 이 영상이 여러분에게 벡터의 길이에 대해 직관력을 길러주었길 바랍니다 그리고 스칼라의 의미는 적어놓겠습니다 적어놓겠습니다 이 부분이 스칼라입니다 이 단어에는 측정한다는 뜻의 다어가 들어가 있습니다 이건 그저 벡터를 측정하는 것입니다 길이를 바꾼다는 것입니다 비록 음수 기호로 방향을 바꿀 순 있어도 그 값은 기본적으로 길이를 늘이고 줄이는 것입니다 길이를 늘이고 줄이는 것입니다