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주요 내용

성분으로 보는 벡터의 방향: 제1사분면과 제2사분면

먼저 제1사분면에서 벡터의 방향각을 찾아보고, 더 찾기 어려운 제2사분면으로 넘어가 봅시다.

동영상 대본

이 영상에서는 벡터에 대해 알아보겠습니다 시작점 즉 벡터의 꼬리가 원점에 놓이는 벡터의 표준형을 그리겠습니다 벡터가 x축의 양의 방향과 이루는 양의 방향의 각도를 측정할 수 있습니다 항상 그렇듯이 영상을 멈추고 이 θ가 무엇인지 스스로 계산해 보고 도 단위로 나타내 봅시다 첫 번째로 벡터 u가 있습니다 이 벡터를 공학 표기법이라고도 불리는 단위 벡터의 표기법으로 나타내면 벡터를 수평 방향의 단위벡터 i 곱하기 3 더하기 수직 방향의 단위 벡터 곱하기 4라고 나타낼 수 있습니다 또는 x 성분이 3이고 y 성분이 4라고 볼 수도 있습니다 원점에서 시작한다면 수평 방향으로 세 번 수직 방향으로 네 번 움직인 것입니다 이제 θ를 계산해봅시다 두 가지 방법으로 생각할 수 있습니다 그중 하나는 직각 삼각형을 그리는 것입니다 x 좌표가 3이라고 할 수 있으므로 여기에 직각 삼각형을 만든다면 이 면의 길이는 3이고 높이가 4 또는 y 좌표가 4입니다 그래서 이 면의 길이는 4이고 삼각함수의 정의를 나타내는 암기법인 SOH-CAH-TOA에서 각과 마주 보는 변에 관련된 삼각함수를 알고 있나요? 그렇다면 마주 보는 각과 맞닿은 각은 어떤가요? 그것은 탄젠트입니다 SOH-CAH-TOA에서 이미 알듯이 tan θ는 맞닿은 변 나누기 마주 보는 변인데 마주 보는 변의 길이는 4이고 맞닿은 변이 3입니다 그래서 θ를 구하고 싶다면 θ는 탄젠트의 역과 같다고 할 수 있습니다 때때로 이를 아크 탄젠트라고 부릅니다 4/3를 계산해 봅시다 4/3를 계산해 봅시다 계산기를 가져왔습니다 4를 3으로 나누고 4를 3으로 나누고 여기 있는 버튼을 눌러 탄젠트를 아크 탄젠트로 만들었습니다 그래서 아크 탄젠트는 대략 53.1˚입니다 그렇기에 이는 거의 53.1˚와 일치해 보입니다 조금은 더 커 보이는데 손으로 그렸기에 정확하게 그릴 수 없었습니다 각도는 45˚보다는 조금 더 커 보입니다 느낌은 꽤 괜찮습니다 이제 여러분은 y 좌표가 4이고 x 좌표가 3이므로 tan θ는 항상 y 좌표 나누기 x 좌표가 되지 않냐고 말할 수도 있습니다 사실 삼각함수는 단위 원 정의에서 나왔습니다 한번 단위원을 여기에 그려보겠습니다 좌표를 그리고 단위원을 그린 뒤 선이 있다면 벡터에 대해 생각해 볼 수 있습니다 양의 x축과 형성된 각도 즉 각도의 탄젠트 값인 tan θ는 y 좌표와 원과의 교집합 나누기 x 좌표입니다 y 좌표와 원과의 교집합 나누기 x 좌표입니다 단위 원이 있다고 생각해보고, 단위 원을 만들면 y 좌표와 x 좌표의 비율과 원의 교집합은 4 대 3과 같다는 것을 알 수 있습니다 그렇기에 1과1/3 혹은 4/3가 될 수 있습니다 어느쪽이든 벡터에 대해 생각할 때 양의 x축 종류의 탄젠트 각을 생각할 때 양의 x축 종류의 탄젠트 각을 생각할 때 x 성분 나누기 y 성분과 같습니다 이렇게 모든 게 잘 맞아떨어질 때가 좋습니다 이제 계산해 봅시다 이 각도를 계산하려면 y 좌표와 같은 tan θ를 말할 수 있는데 y 좌표와 같은 tan θ를 말할 수 있는데 x 좌표 나누기 y 좌표입니다 새로운 색으로 하겠습니다 -5입니다 즉 -6/5이 됩니다 또는 θ라고 할 수 있습니다 그렇기 때문에 조금 조심해야 합니다 같은 색으로 쓴 θ는 탄젠트의 역과 같다고 할 수 있음으로 -6/5입니다 하지만 이렇게 구한 답이 괜찮다는 생각이 든다면 그에 대해 의문을 제시하고 싶습니다 한번 해봅시다 6나누기5에 6나누기5에 음의 부호를 붙이면 -6/5이 되고 여기에 탄젠트의 역을 취하겠습니다 이미 버튼을 눌렀기 때문에 탄젠트가 아닌 탄젠트의 역을 취하면 약 -50.2˚를 얻게 됩니다 그렇기에 이것은 대략 -50.2˚입니다 이게 맞아 보이나요? 아닙니다 θ는 90˚를 넘어 보입니다 -50.2˚는 다음과 같은 각도를 보입니다 그렇기에 이는 다른 벡터를 나타냅니다 선에 대해 생각해 보자면 같은 탄젠트를 가진 다른 선입니다 계산기에서는 제 4사분면과 제 1사분면 안에 있는 90˚에서 -90˚ 사이의 각도에서 아크 탄젠트 또는 사이의 각도에서 아크 탄젠트 또는 탄젠트의 역함수를 제공하기 때문이라는 것을 생각해야합니다 제 2사분면에 선이 있습니다 그렇기 때문에 이 선을 제대로 생각하려면 적절하게 수정해야 합니다 이 선과 같은 벡터의 상황을 생각해보면 이 선과 같은 벡터의 상황을 생각해보면 계산을 위해 우리가 원하는 실제의 값 더하기 180˚는 방향이 다른 벡터를 얻을 수 있습니다 θ는 -50.2˚ 더하기 180˚와 거의 일치한다고 할 수 있습니다 한번 해봅시다 여기에 더하기 180˚를 하면 거의 129.8˚가 됩니다 즉 θ는 129.8˚와 거의 같습니다 이게 맞나요? 제 기억력이 안 좋아서요 음 맞는군요 129.8˚는 더 나아 보입니다 우리가 구할 각도와 유사해 보입니다 이는 90도보다 클 것입니다 이는 90도보다 클 것입니다 직각 삼각형과 SOH-CAH-TOA로 생각해 볼 수 있습니다 직각 삼각형을 그릴 수 있기 때문에 몇 가지 색을 사용하여 직각 삼각형을 그리겠습니다 이처럼 그릴 수 있습니다 높이가 얼마일까요? 높이는 6입니다 밑을 그리면 이 길이는 몇이 될까요? 원점으로부터 보면 뒤로 5번입니다 하지만 선의 길이는 절댓값으로 생각해야 합니다 그렇기에 5가 될 것입니다 직각 삼각형의 이 각도를 이용하여 계산할 것인데 x라고 부르겠습니다 탄젠트 x는 6/5과 같고 맞은 편에 있습니다 6/5과 같고 맞은 편에 있습니다 x는 6/5의 아크 탄젠트 값이라면 x는 6/5의 아크 탄젠트 값이라면 어떻게 되겠습니까? 6 나누기 5는 1.2입니다 여기에 아크 탄젠트를 취하면 약 50.2˚를 얻게 됩니다 즉 x는 50.2˚입니다 알맞아 보입니다 하지만 우리가 알아내려는 것은 x가 아닌 θ입니다 θ가 무엇인지 계산해 보려 하는데 θ와 x에 추가된 것이 보입니다 그렇기에 θ 더하기 x는 180이나 θ는 180-x가 될 것입니다 θ는 180-x가 될 것입니다 그러니 음의 부호를 앞에 붙이고 180을 더하면 약 129.8˚를 얻게 됩니다 전에 얻은 것과 거의 일치합니다 커넥트 번역 봉사단 | 강재구