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코스: 기초 미적분학 > 단원 2

단원 10: 삼각법의 성질 사용하기

삼각법의 성질 참고

삼각법의 성질를 한번 찾아보고 이해해보세요

역수와 몫 공식

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

단위원 위에 있는 점을 가지고 코사인과 시컨트가 서로 어떻게 바뀌는지 확인합니다. 코사인이 작아지면, 시컨트가 커지고, 반대로 코사인이 커지면 시컨트는 작아진다는 것을 확인하세요. 둘을 곱하면 항상

1

이 된다는 것을 볼 수 있습니다.

닮은 삼각형을 이용하여 이 공식을 확인할 수 있습니다. 그래프 아래 점을 슬라이드하여 한 삼각형이 다른 삼각형으로 변하는 것을 확인합니다. 어떤 변끼리 대응하는지 유심히 살펴보세요.

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

단위원 위에 있는 점을 가지고 사인과 코시컨트가 서로 어떻게 바뀌는지 확인합니다. 사인이 작아지면 코시컨트는 커지고, 반대로 사인이 커지면 코시컨트는 작아진다는 것을 확인하세요. 둘을 곱하면 항상

1

이 된다는 것을 볼 수 있습니다.

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

단위원 위에 있는 점을 가지고 탄젠트와 코탄젠트가 서로 어떻게 바뀌는지 확인합니다. 탄젠트가 작아지면 코탄젠트가 커지고, 반대로 탄젠트가 커지면 코탄젠트는 작아진다는 것을 확인하세요. 둘을 곱하면 항상

1

이 된다는 것을 볼 수 있습니다.

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

삼각함수 제곱공식

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

각의 합, 차, 곱과 분수에서 비롯된 공식

이들은 밀접한 관련이 있지만, 종류별로 살펴봅시다.

각의 합차정리

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ - ϕ) = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ - ϕ) = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ

아래 그림은 각의 합 공식의 증명입니다. 직사각형의 좌변과 우변은 동일하며, 이는 다음 식으로 이어집니다:

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

윗변과 아랫변도 동일하며, 이는 다음 식으로 이어집니다:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

그림 가운데의 직각삼각형에서 시작해 삼각함수의 직각삼각형 정의 (SOH CAH TOA) 를 이용해 바깥쪽으로 뻗어나가는 것이 제일 좋은 방법입니다.

비슷한 그림으로 각의 차 공식을 도출할 수 있습니다. 한 번 그려보세요.

(엄밀히 말하면, 이것은 모든

θ

와

ϕ

에 대한 증명은 아니지만, 이 공식들은 모든 값에 적용됩니다.)

\tan (θ + ϕ) = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

\tan (θ - ϕ) = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ}

아래 그림은 탄젠트에 대한 각의 합 공식을 증명하는 방법을 나타냅니다.

이는 좀 까다롭습니다. 그림의 좌측 윗부분에 있는 삼각형에 대한 내용입니다. 탄젠트의 직각삼각형 정의를 삼각형에 적용하면, 다음을 얻습니다:

\tan (θ + ϕ) = \frac{대변}{빗변} = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

그림 아래의 부분에서 시작해 삼각함수의 직각삼각형 정의 (SOH CAH TOA) 를 이용해 위로 뻗어나가는 것이 가장 좋은 방법입니다.

비슷한 그림으로 각의 차 공식을 도출할 수 있습니다. 한번 그려보세요.

(엄밀히 말하면, 이것은 모든

θ

와

ϕ

에 대한 증명은 아니지만, 이 공식들은 모든 값에 적용됩니다.)

배각공식

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

이 공식 또한 각의 합공식에서 도출할 수 있지만, 살짝 조정이 필요합니다.

먼저, 두 각을 서로 동일하게 만듭니다.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

공식

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

을 이용하여 우변에 코사인에 대한 항만 오도록 합니다.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

반각공식

\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

대칭과 주기공식

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

\cos (θ + 2 π) = \cos (θ)

\tan (θ + π) = \tan (θ)

여함수 공식

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)

\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)

\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)

\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)

\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)

모든 공식이 똑같아 보이는군요!

이 공식들에 대한 이해는

θ

에서

\frac{π}{2} - θ

로 가는 것이 각을 직선

y = x

에 대하여 대칭시키는 것과 같다는 것을 깨닫는게 핵심입니다.

아래 그림은 각들이 서로 어떻게 연관되어 있는지와

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

를 보여줍니다. 다른 여함수 짝들도 동일한 방식으로 진행되고, 이를 통해 다른 공식들을 도출할 수 있습니다.

부록: 단위원상의 모든 삼각비

움직이는 점을 이용하여 각에 따라 삼각비의 길이가 어떻게 변화하는지 확인합니다.

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