cos(θ)=1과 cos(θ)=-1 풀기

아래의 그래프에서 어떤 θ값이 cosθ=1를 만족시키고 또 어떤 θ값이 cosθ=-1을 만족시킬까요? 여기 그래프가 굉장히 잘 그려져 있네요 수평축은 θ축이고 수직축은 y축이고 그래서 이것은 y=cosθ의 그래프입니다 그리고 이것은 단위원에서의 정의와 관련지어서도 생각할 수 있는데 이것에 대해 확실히 알고 넘어가도록 하죠 여기 단위원을 그냥 대략적으로 그려 볼게요 지금 이것이 어떤 상황인지 전체적으로 이해할 수 있도록 말이죠 θ=0이면 단위원에서는 바로 여기 이 점에 있는 겁니다 이 점의 x좌표가 뭐죠? x좌표는 1이죠 또 여기 그래프에서 θ=0이면 cosθ=1인 것을 볼 수 있습니다 θ=π/2이면 단위원의 이 점에 있는 것이고 x좌표는 뭐죠? 이 점의 x좌표는 0입니다 그래서 다시 보면, π/2에 있을 때 x좌표는 0이고 이는 단위원에서의 정의와 완벽히 맞아떨어집니다 여기서 오른쪽으로 움직이면 여기서는 단위원을 따라 반시계 방향으로 움직이는 것이고 왼쪽으로 움직이면 다시 말할게요 그러니까 오른쪽으로 움직이면 반시계 방향으로 움직이는 거죠 그리고 음의 각도축을 따라 왼쪽으로 움직이면 시계 방향으로 그러니까 단위원을 따라 시계 방향으로 움직이는 겁니다 그럼 이제 질문에 답을 해 봅시다 cosθ=1인 θ값이 무엇일까요? 저기 있는 그래프를 그냥 읽으면 되죠 1이랑 같으니까 cosθ=1이고 cosθ가 1과 같아지는 때가 이쪽에서 볼 수 있듯이 θ=0일 때이고 또 θ가 2π만큼 더 갔을 때도 되죠 그리고는 계속해서 진행해도 이 조건은 성립하게 됩니다 cosθ은 이 단위원의 x좌표와 같고 각이 0일때 이는 1이었습니다 그리고는 단위원을 따라 다시 그 2π 라디안인 점으로 돌아와야 했죠 우리가 4π 라디안에 도달하면 이는 다시 성립할 것이고 그리고는 6π 라디안, 그러니까 2π, 4π, 6π에서 모두 성립하죠 이제 규칙이 보입니다 cosθ는 매 2π마다 1에 이를 것입니다 그러니 이것은 결국 2π의 배수로 생각할 수 있습니다 이것은 2π×n으로 나타낼 수 있습니다 n이 정수일 때 말이죠 이는 음의 값에 대해서도 성립합니다 만약 반대로 간다면 -2π가 될 때까지 돌아오지 않게 됩니다 처음에는 0에 있다가 다음 번 1에 다시 있게 될 때는 -2π에 있을 때이고 그런 다음에는 -4π 그리고는 계속해서 반복되죠 결국 n이 정수이므로 n은 음수도 될 수 있기 때문에 결국 cosθ=1인 모든 음의 θ값에 이르게 됩니다 이제 cosθ=-1일 때에 대해 생각해 봅시다 이제 cosθ=-1일 때에 대해 생각해 봅시다 cosθ=-1이 되는 θ는 여기 있는 그래프에서 볼 수 있죠 θ=π일 때입니다 또 보면 이 그래프를 좀 벗어나기는 하지만 그래프가 이렇게 계속될 것이므로 θ=3π에서도 성립할 것입니다 그리고 여기서 이를 시각화할 수 있는데요 단위원 위 이 점에 있을 때 cosθ=-1이 성립합니다 단위원 위 이 점에 있을 때 cosθ=-1이 성립합니다 이는 π 라디안일 때 일어나고 그리고는 3π 라디안이 될 때까지 다시 일어나지 않을 겁니다 그리고 이는 다시 2π를 더할 때까지 즉 완전히 한 바퀴를 돌아 5π 라디안이 될 때까지 일어나지 않을 것입니다 이건 계속해서 성립하고 또한 음의 방향에 대해서도 성립하는데 그러니까 여기서 2π를 빼게 되면 즉 여기 있었다가 -π까지 다시 돌아가면 이것도 그러할 것이고 여기 그래프에서 실제로 그렇다는 것을 볼 수 있습니다 그러니까 이것은 2π×n+π로 생각할 수 있고 아니면 (2n+1)π로 볼 수도 있습니다 n이 정수일 때 말이죠 조금 더 깔끔하게 써볼게요 이들 각각의 점들에서 또는 이 각각의 θ들에서 cosθ는 -1에 이를 것입니다 보면 맨 아래 점에서 또는 하나의 골에서 다른 골로 가고 다음 골로 가는 데 2π를 움직이며 또 2π가 그 다음 골로 가는 데 움직입니다 정점에 대해서도 똑같습니다 한 고개의 정상에서 다음 고개의 정상으로 가는 데 2π 만큼 움직이고 또 다음 고개의 정상으로 가는 데 2π 만큼 또 움직입니다 커넥트 번역 봉사단 | 오승훈