유한등비급수 문제 해결하기 : 소셜 미디어

(시작) 새로운 사회 미디어 매체가 자랑하기를 작년 1년동안 사용자가 매달 47%씩 증가했다고 합니다 작년 1월의 사용자의 수는 50,000명이었습니다 아래의 식은 천의 단위의 사용자수를 나타낸 것으로 작년 n달동안 증가한 사용자의 수인데 1이 n보다 같거나 작아야하고 n이 12보다는 작거나 같아야 합니다 그리고 이들은 우리에게 총 n달에 걸쳐 증가한 총 사용자의 수를 나타내는 몇가지의 방법을 주어줬습니다 저는 여러분이 지금 동영상을 멈추고 과연 어떤 방법이 진짜로 문제와 값를 나타내고 있는지 생각해보길 바랍니다. 조금 끼어들자면 저는 조그만한 표를 여기에 그릴 것입니다 그러면 우리는 먼저 달이 시작하고 그 후 사용자가 생긴다고 가정해봅시다 그래서 시작하는 사용자 수와 그리고 늘어나는 사용자 수를 생각해봅시다 저는 제가 계산할 공간을 갖도록 하겠습니다 그리고 마지막 달의 사용자수를 생각해봅시다 (휴식) 그래서 첫번째 달, 1월이라고 우리는 예측할 수 있습니다 이 달에 50000명의 사용자로 시작을 합니다 그들은 우리가 1000의 단위로 묶어서 계산하기를 원합니다 그래서 우리는 50000명의 사용자로 시작했습니다 그리고 우리는 얼마만큼 늘어났나요? 우리는 50000의 47%만큼 늘어났습니다 그래서 50×47% 곱하기 0.47이 됩니다 그러면 우리는 결과적으로 얼마의 수로 끝나게 됩니까? 50+50×0.47,이 것이 50번 반복되고 저는 50을 초록색으로 나타내겠습니다 그리고 이 것은 50×1.47이 됩니다 이 것에 대해 생각하는 것은 그렇게 쉽지만은 않습니다 여러분은 이 것을 50×1로 다시 쓸 수 있습니다 그래서 이 것은 50×1+50×0.47 이고 그래서 이 것은 50×(1+0.47)이 됩니다 아니면 1.47이 됩니다 그래서 여기에 값이 이렇게 나오게 됩니다 그러면 이제 두 번째 달로 넘어가봅시다 우리는 저번 달에 끝난 값으로 시작해야 됩니다 그러면 저는 이 것을 베껴서 여기로 옮겨보겠습니다 제가 해보겠습니다 베끼고 옮겼습니다 그래서 이게 우리가 시작하는 값입니다 이제 우리는 무엇을 늘려야 할까요? 그래서 우리는 시작하는 값에 ×0.47하는 것을 더해야 합니다 그러면 우리는 무엇으로 끝나게 될까요? 여러분이 이 두 값을 더하시면 여러분은 이렇게 쓸 수 있습니다 이 식은 이 것에다가 1.47을 곱한 값이 됩니다 아니면 우리는 50×1.47² 으로 쓸 수도 있습니다 그러면 여러분은 이제 규칙을 보실 수 있을 겁니다 3번째 달로 넘어가보죠 그래서 3번째달에 우리는 무엇으로 시작하나요? 우리는 이 값을 가지고 시작합니다 제가 이 것을 베껴서 옮기도록 하겠습니다 그래서 베끼고 옮겼습니다 우리는 이 것으로 시작합니다 우리는 무엇을 더해야 할까요? 우리는 이 값을 가지고 우리는 47%를 곱할 것입니다 우리는 여기에 ×0.47을 할 것입니다 그러면 우리는 무엇으로 끝나게 될까요? 우리는 이 값에 1+0.47을 곱한 값으로 끝나게 됩니다 그래서 이 것은 ×1.47을 한 값과 같아집니다 아니면 우리는 이 것은 50×1.47³이라고 쓸 수 있습니다 그러면 여기서의 규칙이 무엇인가요? 우리는 매달 시작할 때마다 50 곱하기 1.47의 그 달의수-1 제곱을 가집니다 3번째 달에 2제곱이 됩니다 2번째 달에 1제곱이 됩니다 첫번째 달에는 -- 여러분이 보지 못했지만 여러분은 1.47의 0제곱을 곱한 것을 알 수 있습니다 그래서 1번째 달에는 0제곱이 됩니다 3번째 달에 여러분은 1번째 제곱을 가지게 됩니다 3번째 달에 여러분은 2번째 제곱을 가지게 됩니다 그러면 여러분이 n번째에 대해 생각해본다면 50×1.47의 n-1제곱의 값이 나오게 되고 그리고 이 것이 우리가 그 달의 시작하는 값이 되는 것입니다 그러면 여러분은 n번째 달에 얼마만큼을 늘려야 하나요? 우리는 47%만큼을 늘려야 합니다 그래서 이 것은 -- 우리는 그저 베끼고 옮길 것입니다 -- 그리고 이 값과 47%를 곱한 값이 될 것입니다 (휴식) 곱하기 0.47 그러면 우리는 마지막에 어느 값을 가지게 될까요? 만약 여러분이 이 두 값을 더해본다면 여러분을 50 -- 그냥 제가 베끼고 옮기는 대신 바른 색깔을 써서-- 여러분은 50×1.47의 n제곱을 가지게 됩니다 그렇다면 어떻게 전체 사용자의 수의 1/1000을 한 값에 n달동안 더한 결과가 어떻게 나오게 된 것일까요? 여기에는 여러가지의 방법이 있습니다 여러분은 얼마만큼의 사용자가 n달의 끝에 있는지 의미한다라고 할 수 있습니다 n달의 끝에 우리는 그 것을 많이 가지게 됩니다 우리는 년초에 얼마를 자기게 되나요? 우리는 50000을 가지고 있습니다 그러면 얼마나 n달 후에 총 사용자수는 얼마만큼이 될까요? 그리고 우리는 이 것을 구했습니다 제가 한 번 이 값을 써보겠습니다 우리는 이 것을 막 끝냈습니다 (휴식) 제가 이 것을 옮겨보겠습니다 그리고 이 것은 우리가 막 끝낸 것입니다 우리는 50000의 사용자로 시작했습니다 그리고 구하려는 값은 근본적으로 n달동안 얼마나 더해졌는지를 구하는 겁니다 우리의 식 중 이 것과 비슷한 것이 있나요? 없네요 만약 이 문제에 -50이 있었더라면 -50이라고 했더라면 그러면 함정을 끝낼 수 있지만 그럴 수가 없네요 그리고 나머지들 역시 이 형식과 같아보이지는 않고 혹은 이 식들을 조작하는 것 역시 쉬워 보이지 않습니다 이 것이 하나의 방법이 될 수 있으나 우리는 이를 원치 않습니다 그렇다면 다르게 생각하는 방법은 없을까요? 물론 여러분을 문자 그대로 얼마만큼의 사용자수가 달마다 늘었는지 구할 수고 있습니다 우리는 그대로 여기에 이 모든 것을 더할 수 있습니다 (휴식) 이것을 보면 우리는 이 모든 식들을 그대로 더할 수 있습니다 그렇다면 이 것을 조금 단순화 해봅시다 그렇다면 여기서 우리가 볼 수 있는 공약수는 무엇이 있을까요? 우리는 모든 식들이 50을 가지는 것을 볼 수 있습니다 그리고 우리는 모두 0.47이 곱해진 식들을 가지고 있습니다 그렇다면 0.47과 50을 인수분해 해봅시다 그러면 인수분해를 해봅시다 그래서 이 것은 같게 됩니다-- 만약 우리가 이 모든 것을 더한다면-- 이 것은 0.47×50이 됩니다 그렇다면 무엇이 남는가요? 1번째 달에 여러분이 이 두 수를 인수분해하면 여러분은 1이라는 값만 가지게 됩니다 그리고 2번째 달에 여러분이 50과 0.47을 인수분해하면 여러분은 1.47을 가지게 됩니다 3번째 달에 여러분이 이 것들을 인수분해하면 1,47의 제곱이 남게 됩니다 그리고 우리는 이 것을 n달까지만큼 할 것입니다 여러분이 이것들을 인수분해한다면 1.47의 n-1제곱 만큼의 값을 가지게 됩니다 그렇다면 어느 것이 위의 식들과 유사한가요? 위의 식 중 2번째 식과 가장 유사하네요 그리고 이 것이 우리가 정확히 구한 값입니다 그리고 우리는 끝났습니다