유한등비급수 문제 해결하기 : 대출

이 동영상에서 제가 할 것은 주택 담보 대출에 숨겨진 수학을 살펴보는 것입니다 그렇지만 경제학 동영상은 아닙니다 사실 매우 수학적이죠 하지만 이 동영상은 적어도 제 생각으로는 제가 오랫동안 생각해온 문제를 풀어낼 것입니다 보통은 이런 대출을 받아서 집을 삽니다 예를 들어 20만 달러를 대출했다고 합시다 집을 담보로 했습니다 그리고 돈을 갚는 기간은 30년 또는 360개월입니다 달 단위로 쓰는 것은 일반적으로 이자가 달마다 원금에 추가되기 때문입니다 6%의 이자가 붙는다고 합시다 이것은 1년 동안의 이자로, 일반적으로는 달 단위로 나오므로 6%를 12로 나누어줘야죠 그러면 달마다 0.5%가 나옵니다 보통 이런 대출을 받을 때 여러분의 대출 상담원은 어떤 표를 보거나 컴퓨터 프로그램에 숫자를 넣습니다 그리고 여러분에게 매달 1200달러를 내면 된다고 합니다 그리고 매달 1200달러를 360달 동안 내면 대출받은 20만 달러를 전부 갚는 거죠 원금뿐만이 아니라 그 사이에 나온 이자까지요 하지만 이런 수들은 쉽게 구해지는 것이 아닙니다 대출이 정확하게 어떻게 일어나는지 알아보기 위해 예를 한번 들어보죠 0번째 날에는 20만 달러의 빚이 있습니다 그리고 빚을 갚기 위한 돈을 내지 않죠 여러분은 대출금을 갚기 위한 첫 번째 돈을 한달 뒤에 지불할 것입니다 그리고 대출금은 0.5% 늘어날 것입니다 소수점으로 표시하면 0.005네요 그러므로 한달 뒤에는 대출금이 200,000*(1+0.005)로 불어납니다 그리고 1200달러를 내죠 단순히 1200이 빼지는 겁니다 그냥 아이디어 자체만 보여주고 있는데요 그리고 다음 달에는 남아있는 금액에 0.5%, 즉 0.005가 더해지겠죠 그리고 그 때 여러분이 다시 와서 1200달러를 다시 낼 것입니다 1200을 빼는 거죠 그리고 이것이 360번 일어납니다 이 작업을 계속합니다 그리고 만약에 이것을 직접 푼다면 마지막 식은 정말 길어져서 360개의 괄호들이 있겠죠 마지막에는 0과 같아질 것입니다 마지막 달에 돈을 내면 대출금을 갚는 것이 끝나니까요 그러면 일반적으로는 어떻게 매달 내는 금액을 알아냈을까요? 이것을 p라고 합시다 수학적으로 p를 구할 방법이 있을까요? 이것을 하기 위해 약간 추상적으로 해봅시다 l이 빌린 돈이라고 하고 i가 매달 붙는 이자라고 합시다 n을 대출금을 갚는데 필요한 달 수라고 합시다 그리고 p를 매달 내는 금액이라고 하죠 매달 돈을 갚아나가는 금액이요 일부는 이자이지만 일부는 원금을 갚아서 매달 같은 금액을 지불하여 이자를 내고 원금을 갚아나갈 것입니다 그러니까 이게 바로 매달 내야 할 금액이죠 여기에 있는 이 식을 추상적인 개념으로 다시 쓰면 시작하는 수가 l이겠죠 한달 뒤에는 1+i가 곱해집니다 그러니까 1+i배를 해줍니다 여기서는 i가 0.005였죠 그리고 매달 내는 p의 금액을 빼주면 한 달 뒤의 결과가 나옵니다 그래도 아직 남은 돈이 있죠 이것에 다음달의 이자가 붙을 것입니다 그 다음에 또 p만큼의 돈을 내겠죠 그리고 이것을 n번 반복할 것입니다 추상적인 개념만 계속 쓰도록 하죠 그러면 n개의 괄호가 나올 것입니다 이 작업을 n번 시행했다는 것은 이 식의 값이 0이 나온다는 것입니다 그러면 여기서 알아내야 할 점은 어떻게 p에 대해 이 식을 풀까요? 만약에 빌린 돈의 양을 알고 이자와 갚는 달 수를 안다면 어떻게 p에 대해 풀까요? 이 문제는 그렇게 쉽게 대수적으로 풀 수 있을 것 같지는 않군요 진전을 할 수 있는지 한번 봅시다 이것을 일반적인 형식으로 재배열할 수 있는지 보죠 n이 1일 때부터 한번 해보죠 n이 1이라면 상황은 이렇게 나올 것입니다 빌린 돈을 한 달만큼 이자를 붙이기 위해 1+i를 곱해주고 돈을 지불합니다 이 대출은 한달 만에 갚는 것이므로 이 지불을 끝내면 대출금을 전부 갚는 것입니다 남는 돈이 없죠 이것을 p에 대해 풀면 이항해서 p는 l(1+i)라는 것을 구할 수 있습니다 아니면 만약 양변을 (1+i)로 나누면 p/(1+i)=l이 나옵니다 이미 p의 값을 구했는데 왜 이러는지 의문을 가질 수 있지만 곧 나타날 규칙을 보여주기 위해 이 작업을 하는 것입니다 그러면 n이 2면 어떻게 되는지 봅시다 먼저 처음에 돈을 빌린 만큼 시작합니다 한달 만큼의 이자가 붙습니다 그 다음에 당신이 돈을 지불합니다 그러면 갚을 돈이 얼마가 남습니다 그 돈은 한달 동안 또 이자가 모이겠죠 그 다음에 두 번째로 금액을 지불합니다 이 대출은 금액을 두번만 지불하면 됩니다 그러므로 여기서 끝나죠 갚아야 할 돈이 없습니다 원금과 이자 모두 지불했습니다 이제 p에 대해서 풀어봅시다 P는 색칠해 놓갰습니다 이 p는 분홍색으로 하겠습니다 이제 양변에 p를 더하고 이항해봅시다 그러면 이 초록색 p는 여기 있는 이 항들과 같게 됩니다 여기 있는 이것은 l(1+i)-p와 같습니다 같은 p지만 이렇게 해서 대수적으로 무슨 일이 일어나는지 보여주고 있습니다 분홍색 p를 뺀 값 곱하기 (1+i) 이제 양변을 1+i로 나누면 p/(1+i)=l(1+i)-p입니다 이제 양변에 이 분홍색 p를 더해봅시다 여기 있는 분홍색 p+p/(1+i)는 l(1+i)와 같습니다 이제 양변을 1+i로 나눠주면 여기 있는 분홍색 p에서 p/(1+i)이고 이 초록색 p는 이미 (1+i)로 나눠져 있으므로 한번 더 나누어서 p/(1+i)^2를 더해주면 원금과 같아집니다 뭔가 흥미로운 규칙이 나타나는군요 현재가치에 관한 동영상을 시청해 보는 것을 추천합니다 이 상황에서는 당신이 내는 돈을 이자만큼 할인해주면 원금이 나옵니다 여기서 매달 낸 돈을 가져와서 각각 (1+i)를 달 수만큼 나누어서 할인해주면 됩니다 결국 여러분은 여러분이 지불한 돈의 현재가치로 원금을 갚는 것입니다 연습을 하고 싶다면 직접 확인해봐도 됩니다 n이 3인 경우에 해본다면 시간을 아끼기 위해 직접 해보지는 않겠습니다 n이 3일 때 해본다면 p/(1+i)+p/(1+i)^2+p/(1+i)^3가 빌린 원금 l이 됩니다 시간이 있다면 앞에 한 것과 같은 방법으로 한번 해보는 것도 추천합니다 식이 좀 더러워질 것입니다 식을 정리하는 것이 좀 많겠지만 그렇게 오래 걸리지는 않을 것입니다 여기서 지불한 금액의 현재가치의 합으로 빌린 돈의 원금을 나타낼 수 있다는 것을 보였습니다 이제 일반적인 식으로 나타내어 n을 사용하여 나타내겠습니다 p를 묶어내서 표현한다면 p(1/(1+i)+1/(1+i)^2+……)로 계속해서 분모를 계속 늘려가며 더하여 1/(1+i)^n이 나올때까지 n번 반복합니다 이 규칙을 알아볼 수도 있습니다 여기에 있는 이 식은 등비수열입니다 그리고 등비수열의 n번째 항까지의 합을 구하는 방법이 있죠 저는 이 동영상의 처음 부분에 등비수열의 응용일 것이라고 했습니다 이 문제는 1/(1+i)^j의 꼴로 j가 1일 때부터 이 첫번째 항에서는 (1+i)의 1제곱이라 볼 수 있습니다 j가 n일 때까지 계속됩니다 이것이 문제에서 구하는 합이죠 그러면 이 합을 간단하게 나타낼 수 있는 방법을 알아보죠 이걸 360번 하는 것은 힘드니까요 만약 그렇게 더한다면 아까 식의 양변에서 l을 그 합으로 나누어주면 p가 나옵니다 하지만 더 쉬운 방법이 있을 겁니다 이걸 간단하게 나타내봅시다 계산을 쉽게 만들기 위해서 1/(1+i)를 r이라고 정의합시다 그리고 이 전체 합을 s라고 합시다 이 식은 s겠죠 이 항들이 각각 r이라고 하면 이 첫 번째 항은 r의 1제곱이 됩니다 다음 것은 r^2이 됩니다 분자를 제곱하면 다시 1이 나오니까요 그러면 이 식은 r+r^2+r^3+ r^n까지 더해집니다 그리고 여기서 방법을 하나 알려드리죠 전 항상 공식을 까먹어서 이 기회를 통해 등비수열의 합을 알아내보죠 이 식을 이용하면 무한급수의 값을 알아낼 수도 있지만, 지금은 유한한 합을 구할 것입니다 s를 r배 해봅시다 그러면 r*s는 무엇과 같을까요? 이 각각의 항들을 r로 곱하면 r의 1제곱은 r^2이 됩니다 r^2에 r을 곱하면 r^3입니다 그리고 계속해서 r^(n-1)에 r을 곱하면 r^n이 나오게 됩니다 그리고 마지막 항인 r^n에 r을 곱하면 나오는 것이 r^(n+1)입니다 이렇게 새롭게 생긴 항들은 모두 r이 곱해져 있고, 지수만 다릅니다 이제 이 보라색 식에서 이 초록색 식을 빼봅시다 그러니까 s-rs가 되는 거죠 이 식에서 이 식을 빼는 겁니다 먼저 r^1-0이 나옵니다 그러면 r이 나오죠 그런데 여기서는 r^2-r^2으로 사라집니다 이 다음 항도 r^3-r^3으로 사라지죠 이렇게 r^n-r^n까지 모든 항이 사라집니다 그리고 남는 것은 여기의 마지막 항이죠 이 방법이 편리한 이유입니다 이제 끝에 –r^(n+1)이 남죠 이제 s로 이 식을 묶어냅니다 단순히 s만 묶어낸다면 s(1-r)이 되죠 그리고 이것은 r-r^(n+1)이 됩니다 이제 식의 양변을 (1-r)로 나누면 원하던 합이 나옵니다 합은 (r-r^n)/(1-r)이 됩니다 이것이 우리가 찾던 합이고, r은 이렇게 정의했었죠 이제 이 이상한 식을 다시 쓰면 매달 지불하는 금액에 이것을 곱하면 빌린 돈의 양이 됩니다 이걸 초록색으로 적어보죠 r-r^(n+1)이고 이 전체가 (1-r)로 나누어집니다 그래서 이 식을 p에 대해 풀어보면 양변에 이것의 역수를 곱하고, 그러면 p는 이것의 역수 곱하기 원금의 양이 됩니다 역수니까 분홍색으로 적겠습니다 (1-r)/(r-r^(n+1)) 그리고 r은 여기 이것이죠 이러면 끝났습니다 이렇게 하면 대출금을 갚기 위해 내는 돈에 대해서 풀 수 있습니다 이제 이것을 적용해봅시다 빌린 금액이 20만 달러라고 합시다 그리고 이자율은 1년에 6%라고 합시다 이러면 매달 0.5%이고 0.005와 같습니다 이것이 매달 붙는 이자율입니다 그리고 30년 동안 갚는다고 하면 n은 360달이 됩니다 이제 얼마가 나오는지 봅시다 먼저 알아내야 할 것은 r의 값입니다 r은 1/(1+i)입니다 그러니까 1/(1+0.005)를 해보죠 매달 이자가 0.5퍼센트니까요 그러면 r의 값이 0.995가 나옵니다 여기에 써놓도록 하죠 이 계산기는 변수 저장을 못하니까 여기 적어놓겠습니다 r은 0.995 여기에 써놨죠 약간의 정확성이 떨어지지만 괜찮을 것 같습니다 여기서는 방법을 보는 것이 더 중요하니까요 그러면 매달 지불할 금액은 얼마죠? 이제 빌린 금액인 20만 달러를 (1-r)로 곱하고, 그 다음에 0.995-0.995^(360+1)로 나누므로 361제곱으로 나누면 되겠군요 머리로 절대 못할 계산이니까 계산기를 사용하면 답이 약 1200달러가 나옵니다 만약 정확한 값들을 넣는다면 약간 낮게 나오지만 거의 1200달러일 것입니다 그래서 이렇게 우리는 지불할 금액을 구했습니다 p는 1200달러가 되는군요 정리하자면 이 문제는 일상생활에서 접하는 것을 풀어내는 수학적인 과정이었습니다 어떤 표나 스프레드시트를 쓰지 않아도 실험적으로 이 수를 구할 수 있습니다