파스칼의 삼각형 & 조합론

이번 영상에서는 이항정리와 파스칼의 삼각형의 관계를 이해해 봅시다 복습해 봅시다 (x+y)^3은 쉬운 예제입니다 세 개의 같은 식을 곱한 것과 같습니다 (x+y) 곱하기 (x+y) 곱하기 (x+y)입니다 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 (x+y)라 합시다 전개해 봅시다 xy^2을 만드는 방법은 몇 가지인가요? 다시 말해서 이 세 개의 식 중에서 y를 두 개 선택하는 경우의 수입니다 식 1과 2를 선택할 수도 있고 1과 3을 선택할 수도 있고 2와 3을 선택할 수도 있습니다 선택되지 않은 식은 물론 x가 될 것입니다 세 개의 식 중에서 두 개의 식을 고르는 것입니다 이것이 조합론적 아이디어입니다 세 명의 친구 중 차에 탈 두 명을 고르는 것과 수학적으로 동등합니다 자리는 중요하지 않고 친구를 고르기만 하는 문제입니다 두 명을 고르기만 하면 됩니다 여기서도 같습니다 세 명의 친구 중에서 y가 될 두 친구를 고르고 나머지 한 친구는 x가 되는 것입니다 이제 파스칼의 삼각형을 봅시다 비슷한 아이디어입니다 같은 항, 즉 xy^2항을 봅시다 파스칼의 삼각형을 지도라고 생각해 봅시다 이곳에 도달할 수 있는 길은 몇 가지인가요? y^2에서 x를 곱할 수도 있고 xy에서 y를 곱할 수도 있습니다 이곳에 도달하기 위해 지날 수 있는 중간 지점이 두 개입니다 이곳에는 두 개, 이곳에는 한 개입니다 그래서 결과적으로 2+1=3가지가 됩니다 아까 말씀드린 것과 연관시켜 잘 살펴보면 이 경로를 고르는 것은 이 식에서 x나 y를 고르는 것과 같습니다 여기에 번호를 붙여 봅시다 1번, 2번, 3번 식입니다 이곳에 도착하는 세 개의 경로를 생각해 봅시다 이 경로는 첫 번째 식에서 x를 고르고 왼쪽 길 y를 고르고 오른쪽 길 다시 y를 고르고 오른쪽 길로 가는 경로입니다 이 길은 식 세 개 중 y 두 개를 고르는 것과 같습니다 식 세 개 중 y 두 개입니다 이 길 말고도 다른 경로를 고려해 봅시다 다른 경로는 y-x-y가 될 것이고 또 y-y-x도 가능합니다 근본적인 수학적 원리는 모두 같습니다 파스칼의 삼각형과 조합을 이항정리에 연관시켜 잘 이해하셨길 바랍니다