이항정리란?

이항의 지수가 커지면 커질수록 계산이 힘들어지는 것은 쉽게 알 수 있습니다 이항의 지수가 증가함에 따라 계산이 얼마나 복잡해지는지 알아보기 위해 몇 가지를 시도해 보죠 A 더하기B 의 경우 항이 두 개이기 때문에 2항이 됩니다 여기에 0승을 해 보죠 0이 아닌 수를 0승하면 1이 되겠죠 여기까진 쉽네요 그러면 (a 더하기 b) 의 1승은 어떨까요? 그대로 a +b가 나오겠네요 자 그러면 (a+b)의 제곱으로 넘어가보죠 해 보지 않으신 분들은 a제곱 + b제곱 으로 답하실 수도 있어요 하지만 그렇게 풀면 안됩니다 만약 이렇게 푸신 분이 있다면 손목이나 뇌를 가볍게 때려 주세요 준식은 (a+b) 곱하기 (a+b) 로 나타내어집니다 이를 계산해 본다면 a곱하기 a, 즉 a제곱 더하기 a 곱하기 b, 즉 ab 또 b 곱하기 a, 즉 ab 가 하나 더 생깁니다 더하기 b곱하기 b, 즉 b 제곱 입니다 정리해 보면 ab가 2개 있으므로 더할 수 있어요 결과적으로 a제곱 더하기 2ab 더하기 b 제곱 이네요 이제 문제들이 조금씩 재밌어지기 시작합니다 자 이제 (a+b)의 3승이 무엇인지 잠시 동영상을 중지하시고 혼자 풀어보세요 일단 우리는 (a+b)의 3승을 (a+b)의 제곱 곱하기 (a+b)로 나타낼 수 있어요 그 후에 위에서 구한 (a+b)제곱과 (a+b)를 곱해서 답을 찾아봅시다 여기에 a+b를 곱해봐요 b부터 먼저 곱해주면 a^2b + 2ab^2 +b^3 이 나오네요 b를 곱해줬으니 이제 a를 곱해줍시다 a를 각 항에 곱해주면 a^3 + 2a^2b + ab^2 가 나오네요 이제 이 항들을 다 더해주면 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 이 나옵니다 아직 3승까지밖에 안 왔는데 시간이 좀 걸렸군요 이제 (a+b)의 4승 정도의 계산을 하려면 얼마나 힘들지 느껴집니다 아니면 10승이나 20승 정도를 계산하려면 하루 종일이 걸릴지도 모르는 일이에요 그렇기 때문에 이항정리가 필요한 겁니다 그럼 이항정리는 무엇일까요? 자 써볼게요 '이항정리' (a+b)를 적고 여기에 n승을 해보겠습니다 처음에는 적응하기 힘들겠지만 실제로 적용해 보면 감이 올 거에요 (a+b)의 n 승은 다음과 같이 표현할 수 있습니다 k 가 0에서부터 n 까지 커질 때 다음 항들의 총 합입니다 : n 콤비네이션 k (잠시후에 설명드릴게요) 곱하기 (a의 n-k승) 곱하기 (b의 k승) 그럼 n 콤비네이션 k 가 무엇을 의미하는지 알아볼게요 n 콤비네이션 k 는 n팩토리얼 / k팩토리얼 곱하기 (n-k)팩토리얼 이에요 아까 위협적이었던 (a+b)의 4승을 이항정리를 사용하여 한번 풀어볼게요 구별하기 쉽게 색깔별로 적을게요 색을 바꾸느라 시간이 조금 더 걸리네요 (a+b)의 4승을 적습니다 그대로 적용하면 k가 0에서부터 4 까지 증가할 때 4콤비네이션 k 곱하기 a^(4-k) 곱하기 b^k 들의 합입니다 그럼 어떻게 되죠? 직접 더해봅시다 k 가 0일때부터 시작해봐요 4콤비네이션 0 곱하기 a^4 곱하기 b^0 인데 b^0은 1이니까 무시해도 되겠네요 또 k 가 1일때는 4콤비네이션 1 곱하기 a^3 곱하기 b^1 이네요 k 가 2일때는 4콤비네이션 2 곱하기 a^2 곱하기 b^2 에요 이쯤되면 규칙이 보이죠? 두 항만 더 계산하면 되요 4콤비네이션 3 곱하기 a^1 곱하기 b^3 이 되고요 마지막 항이네요 4콤비네이션 4 곱하기 a^0 곱하기 b^4 인데 a^0은 1이니까 생략해도 되겠어요 거의 다 끝났어요. 다 전개했고 콤비네이션의 값들만 구하면 되요 위의 식을 적용해 봐요 4콤비네이션 0은 4팩토리얼 나누기 0팩토리얼 나누기 4팩토리얼 이에요 팩토리얼 계산에 있어서 0팩토리얼은 1로 취급되요 그래서 4콤비네이션 0은 1이 됩니다 4콤비네이션 1은 4팩토리얼 나누기 1팩토리얼 나누기 (4-1) 팩토리얼이에요 계산하면 (4곱하기 3곱하기 2곱하기 1) 나누기 (3곱하기 2곱하기 1) 이 되겠네요 그래서 4가 나오고요 4콤비네이션 2는 4팩토리얼 나누기 2팩토리얼 나누기 2팩토리얼이 되겠어요 (4곱하기 3곱하기 2곱하기 1) 나누기 2나누기 2 가 되네요 분모의 2곱하기 2는 4가 되서 약분되네요 그래서 6이 나와요 4콤비네이션 3은 뭘까요? 아래에다 써 볼게요 4팩토리얼 나누기 3팩토리얼 나누기 (4-3)팩토리얼이 되네요 결국 4팩토리얼 나누기 3팩토리얼 나누기 1팩토리얼이 되니까 위에서 했던 4콤비네이션 1과 똑같아요 마찬가지로 (4콤비네이션 4)는 (4콤비네이션 0)과 같아요 다 끝났어요! 이제 (a+b)의 4승을 구했어요 a^4 더하기 4a^3b^1 더하기 6a^2b^2 더하기 4a^1b^3 더하기 b^4 이에요 계산한 것들을 아래에다 적어볼게요 a^4 + 4a^3b^1 + 6a^2b^2 + 4a^1b^3 + b^4 이에요 흥미로운 규칙이 보이네요 계수가 대칭이에요 앞의 계수는 1, 4, 6 그 후에 4번째는 4, 5번째는 다시 1이네요 또 a의 4승, 3승, 2승, 1승, 0 승이고 b는 0승, 1승, 2승, 3승, 4승 으로 증가해요 자 이것은 이항정리가 쓰일 수 있는 한 가지 예시에 불과해요 추후에 이항정리에 대해 더 알아볼 거에요 그리고 이항정리가 성립하는 이유를 알아볼 거에요