유리식 간단히 나타내기

우리가 처음 분수나 유리수에 대해 배웠을 때, 숫자를 가장 간단한 형태로 나타내는 것에 대해 배웠습니다. 그래서 우리가 6분의 3 같은걸 보면 3과 6이 공통인수를 가진다는 것을 알고 있습니다 분자 3은 그대로 3이지만, 6은 3 곱하기 2 로 나타내질 수 있다는 걸 알고 있습니다 이 둘이 이 경우에는 3이라는 공통인수를 가지고 있기 떄문에 우리는 분자를 3으로 나누고, 분모를 3으로 나누거나, 또는 이것을 3 / 3 이라고 할 수 있고, 서로 약분되어 없어집니다 그리고 기약분수로는, 이 분수는 1/2가 될 것입니다 다시 처음으로 돌아가서, 우리에게 8/24 가 있다면 다시 한번, 우리는 이것이 8 나누기 3곱하기 8 이라는 것을 압니다. 또는 이것은 1/3 곱하기 8/8과도 같은 것입니다 8이 약분되고, 우리는 기약분수로 1/3을 얻습니다 정확히 같은 아이디어가 유리식에도 적용됩니다 이것들은 유리수입니다 유리식은 근본적으로 같은 것입니다 하지만 분자가 실제 숫자가 되고 분모가 실제 숫자가 되는 대신, 변수를 포함하는 식이 들어갑니다 이게 무슨 소리인지 보여줄게요 나에게 9x+3나누기 12x더하기 4가 있다고 해봅시다 이제, 여기 있는 분모에서, 우리는 인수를 얻을 수 있습니다 우리는 3이라는 인수를 끌어낼 수 있습니다 이것은 3곱하기 3x+1과 같습니다 이것이 분자와 같은 것입니다 그리고 분모에서는, 4를 끌어낼 수 있습니다 이것은 4곱하기 3x 12나누기 4는 3입니다 12x나누기 4는 3x입니다 +4가 4로 나누어지면 1 이 됩니다 여기에서, 위의 수들처럼 분자와 분모가 공통약수를 가지고 있습니다 이 경우에는 3x+1입니다 이 경우에는, 변수로 표현된 식입니다 이것은 실제 숫자가 아니지만, 우리는 실제 숫자와 정확히 똑같이 할 수 있습니다 이 둘은 약분되어집니다 그래서, 만약 이 유리식을 기약분수로 나타내면 우리는 이것이 3/4 와 같다고 말할 수 있습니다 다른 걸 해봅시다 우리가 x제곱의-- 좋은게 뭐가 있을까요 우리에게 x^2 -9 나누기 5x+15가 있다고 해봅시다 이 값은 뭐가 될까요? 우리는 분자를 인수분해할 수 있습니다 이것은 제곱들의 차입니다 x+3곱하기 x-3으로 분해할 수 있습니다 그리고 분모에서는 5로 인수분해할 수 있습니다 이것은 5곱하기 x+3과 같습니다 다시 한번, 분자와 분모에 공통인수가 있고 그것들을 약분할 수 있습니다 하지만, 이전의 두 비디오에서 집었듯이 매우 조심해야 합니다 약분을 할 수는 있습니다 이것이 x-3나누기 5와 같아진다고 할 수는 있지만 분모가 0이 되도록 하는 x값들은 전체 식이 정의되지 않도록 하므로 배제되어야 합니다 그래서 이것이 x-3나누기 5라고 할 수 있지만 x는 -3이 되어서는 안됩니다 -3은 이 부분을 0으로 만들거나, 분모 전체를 0으로 만들 수 있습니다 그래서 이 두 부분이 서로 같다고 할 수 있습니다 이렇게 두 부분은 서로 같지 않은데, 왜냐하면 여기서는 x가 -3일 때 정의가 되지만 여기서는 x가 -3일 때 정의되지 않기 때문입니다 그래서, 두 부분이 같아지기 위해서는 x가 -3이 아니라는 추가적인 조건이 더해져야 합니다 그래서, 여기에서, 만약에 이것이 함수였다면 예를 들어 y가 9x+3나누기 12X+4였고 그래프를 그리려고 했다고 가정합시다 우리가 이 식을 단순히 하려고 할 때 3x+1이 분자에도 있고 분모에도 있기 때문에 이것을 약분하려는 유혹이 생깁니다 머리속의 유혹이 "이건 y=3/4와 같은 y축에 평행하게 y가 3/4로 일정한 그래프야"라고 말하지만 우리는 한 조건을 더해야 합니다 우리는 분모가 0이 되도록 하는 모든 x값을 제거해야 하며 여기에서는 x가 -1/3일 때 0이 될 것입니다 만약 x가 -1/3과 같다면, 이 분모는 0이 될 것 입니다 그래서 여기에서도, 우리는 x가 -1/3이 되어서는 안됩니다 바로 이 조건이 이 부분과 이 부분이 서로 같도록 해주는 것입니다 x가 -1/3이 되어서는 안된다는 조건이죠 몇 가지를 더 해봅시다 이번에는 핑크로 해보겠습니다 x^2+6x+8을 x^2+4x로 나누었다고 합시다 아니 다시 해볼게요 x^2+6x+5나누기 x^2-x-2 다시 한번, 우리는 분자와 분모를 우리가 처음 분자와 기약분수를 배웠을 때 실제 수를 가지고 했던 것처럼 인수분해를 하고 싶습니다 분자를 인수분해 할 때 곱해서 5가 되고, 더해서 6이 되는 수가 뭐가 있을까요? 저는 5와 1이 생각나네요 따라서 분자는 x+5 곱하기 x-1입니다 분모에는, 두 개의 숫자입니다 곱해서 -2, 더해서 -1 -2와 +1이 떠오르네요 오, 이것은 +1입니다 맞죠? x+5 곱하기 x+1 맞죠? 1곱하기 5는 5 5x+1x는 6x 다시 이 부분에서, +1과 -2가 있습니다 따라서 x-2곱하기 x+1입니다 분자와 분모에서 공통인수를 발견할 수 있습니다 이것들은 서로 약분됩니다 그래서, 여러분은 이것이 x+5나누기 x-2와 같다고 할 수 있습니다 하지만 정말로 정확하게 둘이 같아지기 위해서는 조건을 더해줘야 합니다 x가 -1이 되서는 안된다는 조건을 더해줘야 하는데 x가 -1과 같아지면, 정의가 되지 않기 때문입니다 이 조건을 더해줘야 하는 이유는 이것 자체로는 x가 -1 일 때 정의가 되기 때문입니다 우리는 여기 -1을 대입할 수 있고 그러면 숫자를 얻게 됩니다 하지만 이것은 x가 -1일 때 정의되지 않았고, 따라서 이 조건을 더해서 엄밀하게 둘이 같아지도록 해야 합니다 이번에는 더 어려운 것을 해봅시다 3x^2+3x-18이 있고, 이것 전체 나누기 2x^2+5x-3이라고 합시다 이렇게 이 부분의 계수가 1이 아닌 경우에는 인수분해를 하는 것이 살짝 더 어렵습니다 하지만 이것을 어떻게 인수분해 하는지 이미 배웠습니다 분류를 통해서 할 수 있고, 이건 분류를 하는 좋은 연숩이 될 겁니다. 한번 해봅시다 우선, 3x^2+3x-18을 인수분해 해봅시다 우선, 두 숫자를 생각해야 합니다 이것은 인수분해의 복습입니다 우리는 곱했을 때 3곱하기 -18 또는 -54가 되는 두 수를 생각해야 합니다 그리고 더할 때는, a더하기 b, 는 3x가 되어야 합니다 왜냐하면 우리가 3x를 ax와 bx로 쪼갤 것이기 때문이죠 또는, 더 나은 것은 3x가 아니라 3이 되도록 합니다 이러한 두 숫자가 뭐가 있을까요? 한번 생각해 봅시다 우선, 그들은 3씩 떨어져 있습니다 하나는 양수이고 하나는 음수가 됩니다 9곱하기 6은 54입니다 만약 9를 양수로, 그리고 b를 -6으로 하면, 맞아떨어집니다 9-6은 3입니다 9곱하기 -6은 -54입니다 그래서 우리는 이것을 다시 쓸 수 있습니다 이것을 3x^2 더하기 9x - 6x-18이 되게 할 수 있습니다 여기서, 제가 한 것은 3x를 9x와 -6x 로 쪼갠 것 밖에 없다는 걸 보십시오 이 두 식의 차이점은 3x를 9x와 -6x로 쪼갠 것 밖에 없습니다 만약 이 둘을 더하면 3x를 얻게 됩니다 제가 이것을 쓴 방식에서 괄호는 무시해도 됩니다 이렇게 한 이유는, 이렇게 했을 때 식을 인수분해할 수 있기 때문입니다 정상적으로, 어떤 항이 어디로 가게 되는지는 양수와 음수 또는 공약수를 가지는 것을 기반으로 판단합니다 이 경우에 둘 다 3의 공통인수를 가집니다 이 상황에서는 딱히 문제가 되지 않지만 저는 여기의 9를 좋아하는데, 둘 다 양이기 때문입니다 그래서, 왼쪽의 식에서 3x로 인수분해를 해 봅시다 3x를 인수로 끌어내면, 이것은 3x곱하기 x+3이 됩니다 이 식에서, -6을 인수로 끌어내게 되면 우리는 -6곱하기 x+3을 얻게 됩니다 이제, 우리의 분류 작업이 매우 성공적이라는 것이 드러납니다 이것은 이것을 3x-6곱하기 x+3으로 결합하는 것과 같습니다 만약 x+3을 3x+6의 각 항과 곱하면 이 식을 얻게 됩니다 그래서, 마지막으로, 3x-6을 --같은 색으로 할게요 3x-6곱하기 x+3으로 다시 쓸 수 있습니다 이것이 분자와 같습니다 이 항이 이것과 정확히 같습니다 이제 아래부분을 인수분해 해봅시다 만약 2x^2+5x+3을 인수분해할 때면 곱이 6이 되는, 예를 들어 2와 3같은 그리고 더해서 5가 되는 두 수를 찾아야 합니다 그리고 딱 봐도 두 수가 2와 3인 것이 보입니다 이 부분을 2x^2+2x+3x+3 과 같이 쓸 수 있습니다 그러고 나서 이 부분에 괄호를 씌우면 2와 2는 공통인수로 2를 가지고 3과 3은 공통인수로 3을 가지기 때문에 이렇게 분류했습니다 이 둘은 2와 3입니다 그래서, 여기에서는 2x를 끌어올 수 있습니다 2x로 인수분해하면, 2x곱하기 x+1 더하기 여기서 3을 끌어내면, 3x곱하기 x+1 분류하는데에 성공했습니다 이것은 분명히--색깔을 바꿔볼게요-- 이것은 2x+3곱하기 x+1과 같습니다 그래서, 분모까지 인수분해를 했습니다 그래서, 분모까지 인수분해를 했습니다 방금 여기서 제가 실수를 했습니다 여기는 -3이라고 쓰고 여기는 +3이라고 썼어요 다시 돌이켜 봅시다 엄청난 실수가 될 뻔 했군요 이 비디오를 다시 찍을 뻔 했어요 이걸 다 지울거에요 이건 2x^2+5x-3입니다 다시 한번, a곱하기 b는 -3곱하기 2 즉 -6이 되어야 하고 a더하기 b는 5가 되어야 합니다 이런 상황에서는, 우리가 6과 -1으로 분해를 해야 올바른 답이 나올 것입니다 6-1은 5입니다 6곱하기 -1은 -6입니다 완전히 실수할 뻔 했네요 이 부분을 다시 쓰자면 2x^2곱하기 그리고 6과 2x^2을 묶을겁니다 둘이 공약수를 가지니까요 그래서 +6x 빼기 x,이것은 5x-3과 같습니다 5x를 어떤 두 수로 쪼개야 할지를 생각한 것입니다 6x-x는 5x입니다 그리고 여기에 괄호를 넣으면, 우리는 첫번째 항에서 2x를 묶어낼 수 있습니다 2x곱하기 x+3이 얻어집니다 그리고 여기에서는 -1을 뺄 수 있고, 그래서 -1곱하기 x+3이 됩니다 우리의 분류는 또다시 성공적이었습니다 우리는--다른 색깔로 해볼게요-- 2x-1곱하기 x+3을 얻습니다 그래서 분모는 2x-1 곱하기 x+3입니다 다시 한번, 우리는 분자와 분모에 공통인수를 발견합니다, 바로 x+3 이죠 하지만, x가 -3이 될 수 없다는 조건을 더해줘야 하는데, 그것은 이 전체 부분이 0이 될 수 있기 때문입니다 또는 0과 같은 것이 아니라, 0으로 나누게 되고 이는 정의되지 않습니다 그래서, x가 -3이 될 수 없다고 명시해야 합니다 그래서 여기 있는 식은 3x-6나누기 2x-1 과 같습니다 물론 x가 -3이 될 수 없다는 조건도 적혀져야 합니다 여러분이 여기서 흥미를 느꼈기를 바랍니다