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기초 미적분학

코스: 기초 미적분학 > 단원 4

단원 1: 유리식을 가장 낮은 항으로 줄이기

유리식의 간단히 나타내기란?

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유리식을 간단히 나타내는 것이 무슨 뜻인지, 어떻게 하는 것인지 배워 봅시다!

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

유리식은 두 다항식의 분수꼴입니다. 유리식의 정의역은 분모가 0이 되게 하는 수를 제외하고 모든 실수를 포함합니다.

예를 들어 유리식

\frac{x + 2}{x + 1}

의 정의역은 $-1$ ‍을 제외한 모든 실수, 또는

x \neq - 1

입니다.

이 내용이 새롭다면, 유리식이란?을 권해드립니다.

이 단원을 진행하려면 다항식 인수분해 방법을 알아야 합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이 단원에서는 예제를 통해 유리식을 간단히 나타내는 방법을 배울 것입니다.

원리

유리식에서 분자와 분모에 공통 인수가 없을 때 간단히 나타내었다라고 할 수 있습니다.

숫자로 된 분수를 악분하듯 유리식을 간단히 나타낼 수 있습니다.

예를 들어

\frac{6}{8}

을 약분하면

\frac{3}{4}

입니다. 분자와 분모의 공통 약수

2

를 약분한다는 점에 주목하세요.

$\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & 인수분해 \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} & 공통 약수 소거 \\ = \frac{3}{4} & 결과 \end{aligned}$ ‍

예제 1: $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍ 간단히 하기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기

분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 보는 유일한 방법은 인수분해를 하는 것입니다.

$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기

이 지점에서 $x$ ‍에 제한이 있는지 보면 도움이 됩니다. 이는 방정식을 간단히 나타냈을 때도 똑같이 적용됩니다.

$0$ ‍으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 $x \neq 0$ ‍, $x \neq - 5$ ‍입니다.

$\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}$ ‍

3단계: 공통인수 소거하기

이제 분자와 분모가 $x$ ‍라는 공통 인수를 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.

$\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

4단계: 최종 답

주어진 식은 $x \neq 0, - 5$ ‍일 때, 성립합니다. 간단히 나타낸 식도 같은 조건을 가지고 있어야 합니다.

이러한 이유로, $x \neq 0$ ‍을 명시해 주어야 합니다. $x \neq - 5$ ‍를 명시할 필요는 없습니다. 식에서 유추할 수 있기 때문입니다.
[더 설명해 주세요]

따라서 간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:

$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍, $x \neq 0$ ‍

동치 식 참고사항

주어진 방정식	‍	간단히 한 방정식
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ for $x \neq 0$ ‍

위의 두 방정식은 동치입니다. 이는 함숫값이 모든 가능한

x

값에 대해 같다는 뜻입니다. 아래 표가

x = 2

일 때 그 사실을 나타냅니다.

	주어진 방정식	‍	간단히 한 방정식
$x = 2$ ‍일 때의 값	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
참고사항	결과값은 공통 인수 $2$ ‍를 약분해 간단히 할 수 있습니다.		방정식을 간단히 하는 동안 이미 $x$ ‍의 인수를 $($ ‍이 경우 $x = 2)$ ‍ 소거했기 때문에 결과값이 이미 간단히 되어 있습니다.

이러한 이유로 두 방정식은 같은 대입값에 대해 같은 값을 가집니다. 하지만 주어진 방정식을 성립하지 않게 하는 값들은 이런 규칙을 깰 수 있습니다.

x = 0

일 때를 봅시다.

	주어진 방정식	‍	간단히 한 방정식 (제약조건 없이)
$x = 0$ ‍일 때의 값	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = 성립하지 않음 \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

두 방정식이 모든 가능한 대입값에 대해 동치여야 하기 때문에 간단히 한 방정식에

x \neq 0

이란 조건이 필요합니다.

오해하지 마세요

아래에서

x

는 소거할 수 없습니다. 다항식의 인수가 아니라 항이기 때문입니다,

$\frac{x + 3}{x + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

숫자로 된 예제를 보면 확실히 알 수 있습니다. 예를 들어

x = 2

라고 합시다.

$\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq$ ‍ $\frac{3}{5}$ ‍

분자와 분모가 인수분해된 형태여야만 소거할 수 있다는 것이 규칙입니다!

간단히 하는 과정의 요약

1단계: 분자와 분모를 인수분해합니다.
2단계: 조건 값들을 나열합니다.
3단계: 공통 인수를 소거합니다.
4단계: 방정식을 간단히 하고 방정식에서 유추할 수 없는 조건 값들을 나열합니다.

이해했는지 확인하기

1) $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍을 간단히 나타내세요.

[풀이 보기]

2) $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍을 간단히 나타내세요.

x \neq

[풀이 보기]

예제 2: $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍ 간단히 나타내기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

[인수분해 과정을 보여주세요.]

2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기

$0$ ‍으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 $x \neq - 2$ ‍, $x \neq - 3$ ‍입니다.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$ ‍

3단계: 공통인수 소거하기

분자와 분모가 $x + 3$ ‍이라는 공통 인수를 가지고 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.

$\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}$ ‍

4단계: 최종 답

간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:

$\frac{x - 3}{x + 2}$ ‍, $x \neq - 3$ ‍

주어진 식에는 $x \neq - 2, - 3$ ‍이 필요합니다. 방정식에서 유추할 수 있기 때문에 $x \neq - 2$ ‍는 표기할 필요 없습니다.

이해했는지 확인하기

1) $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍를 간단히 나타내세요.

[풀이 보기]

4) $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍를 간단히 나타내세요.

x \neq

[풀이 보기]

다음은 무엇인가요?

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예제 1: x2+3xx2+5x‍ 간단히 하기

동치 식 참고사항

오해하지 마세요

간단히 하는 과정의 요약

이해했는지 확인하기

예제 2: x2−9x2+5x+6‍ 간단히 나타내기

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