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주요 내용

유리식의 간단히 나타내기란?

유리식을 간단히 나타내는 것이 무슨 뜻인지, 어떻게 하는 것인지 배워 봅시다!

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

유리식은 두 다항식의 분수꼴입니다. 유리식의 정의역은 분모가 0이 되게 하는 수를 제외하고 모든 실수를 포함합니다.
예를 들어 유리식 x+2x+1의 정의역은 -1을 제외한 모든 실수, 또는 x1입니다.
이 내용이 새롭다면, 유리식이란?을 권해드립니다.
이 단원을 진행하려면 다항식 인수분해 방법을 알아야 합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이 단원에서는 예제를 통해 유리식을 간단히 나타내는 방법을 배울 것입니다.

원리

유리식에서 분자와 분모에 공통 인수가 없을 때 간단히 나타내었다라고 할 수 있습니다.
숫자로 된 분수를 악분하듯 유리식을 간단히 나타낼 수 있습니다.
예를 들어 68을 약분하면 34입니다. 분자와 분모의 공통 약수 2를 약분한다는 점에 주목하세요.
68=2324인수분해=2324공통 약수 소거=34결과

예제 1: x2+3xx2+5x 간단히 하기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기
분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 보는 유일한 방법은 인수분해를 하는 것입니다.
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
이 지점에서 x에 제한이 있는지 보면 도움이 됩니다. 이는 방정식을 간단히 나타냈을 때도 똑같이 적용됩니다.
0으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 x0, x5입니다.
x(x+3)x(x+5)
3단계: 공통인수 소거하기
이제 분자와 분모가 x라는 공통 인수를 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5
4단계: 최종 답
주어진 식은 x0,5일 때, 성립합니다. 간단히 나타낸 식도 같은 조건을 가지고 있어야 합니다.
이러한 이유로, x0을 명시해 주어야 합니다. x5를 명시할 필요는 없습니다. 식에서 유추할 수 있기 때문입니다.
따라서 간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
x+3x+5, x0

동치 식 참고사항

주어진 방정식간단히 한 방정식
x2+3xx2+5xx+3x+5 for x0
위의 두 방정식은 동치입니다. 이는 함숫값이 모든 가능한 x값에 대해 같다는 뜻입니다. 아래 표가 x=2일 때 그 사실을 나타냅니다.
주어진 방정식간단히 한 방정식
x=2일 때의 값(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=572+32+5=57=57=57=57
참고사항결과값은 공통 인수 2를 약분해 간단히 할 수 있습니다.방정식을 간단히 하는 동안 이미 x의 인수를(이 경우 x=2) 소거했기 때문에 결과값이 이미 간단히 되어 있습니다.
이러한 이유로 두 방정식은 같은 대입값에 대해 같은 값을 가집니다. 하지만 주어진 방정식을 성립하지 않게 하는 값들은 이런 규칙을 깰 수 있습니다. x=0일 때를 봅시다.
주어진 방정식간단히 한 방정식 (제약조건 없이)
x=0일 때의 값(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=성립하지 않음0+30+5=35정의되지 않음
두 방정식이 모든 가능한 대입값에 대해 동치여야 하기 때문에 간단히 한 방정식에 x0이란 조건이 필요합니다.

오해하지 마세요

아래에서 x는 소거할 수 없습니다. 다항식의 인수가 아니라 항이기 때문입니다,
x+3x+5    35
숫자로 된 예제를 보면 확실히 알 수 있습니다. 예를 들어 x=2라고 합시다.
2+32+5   35
분자와 분모가 인수분해된 형태여야만 소거할 수 있다는 것이 규칙입니다!

간단히 하는 과정의 요약

  • 1단계: 분자와 분모를 인수분해합니다.
  • 2단계: 조건 값들을 나열합니다.
  • 3단계: 공통 인수를 소거합니다.
  • 4단계: 방정식을 간단히 하고 방정식에서 유추할 수 없는 조건 값들을 나열합니다.

이해했는지 확인하기

1) 6x+202x+10을 간단히 나타내세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) x33x24x25x을 간단히 나타내세요.
, x
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

예제 2: x29x2+5x+6 간단히 나타내기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
0으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 x2, x3입니다.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
3단계: 공통인수 소거하기
분자와 분모가 x+3이라는 공통 인수를 가지고 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2
4단계: 최종 답
간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
x3x+2, x3
주어진 식에는 x2,3이 필요합니다. 방정식에서 유추할 수 있기 때문에 x2는 표기할 필요 없습니다.

이해했는지 확인하기

1) x23x+2x21를 간단히 나타내세요.
정답을 한 개 고르세요:

4) x22x15x2+x6를 간단히 나타내세요.
, x
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

다음은 무엇인가요?

유리식 간단히 하기 심화 문제에서 심화된 예제를 살펴보세요.