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기초 미적분학
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단원 1: 유리식을 가장 낮은 항으로 줄이기유리식의 간단히 나타내기란?
유리식을 간단히 나타내는 것이 무슨 뜻인지, 어떻게 하는 것인지 배워 봅시다!
이번 단원에서 배우는 것
이 단원에서는 예제를 통해 유리식을 간단히 나타내는 방법을 배울 것입니다.
원리
유리식에서 분자와 분모에 공통 인수가 없을 때 간단히 나타내었다라고 할 수 있습니다.
숫자로 된 분수를 악분하듯 유리식을 간단히 나타낼 수 있습니다.
예를 들어 을 약분하면 입니다. 분자와 분모의 공통 약수 를 약분한다는 점에 주목하세요.
예제 1: 간단히 하기
1단계: 분자와 분모 인수분해하기
분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 보는 유일한 방법은 인수분해를 하는 것입니다.
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
이 지점에서에 제한이 있는지 보면 도움이 됩니다. 이는 방정식을 간단히 나타냈을 때도 똑같이 적용됩니다.
으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 , 입니다.
3단계: 공통인수 소거하기
이제 분자와 분모가라는 공통 인수를 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
4단계: 최종 답
주어진 식은일 때, 성립합니다. 간단히 나타낸 식도 같은 조건을 가지고 있어야 합니다.
이러한 이유로,을 명시해 주어야 합니다. 를 명시할 필요는 없습니다. 식에서 유추할 수 있기 때문입니다.
따라서 간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
,
동치 식 참고사항
주어진 방정식 | 간단히 한 방정식 | |
---|---|---|
위의 두 방정식은 동치입니다. 이는 함숫값이 모든 가능한 값에 대해 같다는 뜻입니다. 아래 표가 일 때 그 사실을 나타냅니다.
주어진 방정식 | 간단히 한 방정식 | ||
---|---|---|---|
참고사항 | 결과값은 공통 인수 | 방정식을 간단히 하는 동안 이미 |
이러한 이유로 두 방정식은 같은 대입값에 대해 같은 값을 가집니다. 하지만 주어진 방정식을 성립하지 않게 하는 값들은 이런 규칙을 깰 수 있습니다. 일 때를 봅시다.
주어진 방정식 | 간단히 한 방정식 (제약조건 없이) | ||
---|---|---|---|
두 방정식이 모든 가능한 대입값에 대해 동치여야 하기 때문에 간단히 한 방정식에 이란 조건이 필요합니다.
오해하지 마세요
아래에서 는 소거할 수 없습니다. 다항식의 인수가 아니라 항이기 때문입니다,
숫자로 된 예제를 보면 확실히 알 수 있습니다. 예를 들어 라고 합시다.
분자와 분모가 인수분해된 형태여야만 소거할 수 있다는 것이 규칙입니다!
간단히 하는 과정의 요약
- 1단계: 분자와 분모를 인수분해합니다.
- 2단계: 조건 값들을 나열합니다.
- 3단계: 공통 인수를 소거합니다.
- 4단계: 방정식을 간단히 하고 방정식에서 유추할 수 없는 조건 값들을 나열합니다.
이해했는지 확인하기
예제 2: 간단히 나타내기
1단계: 분자와 분모 인수분해하기
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 , 입니다.
3단계: 공통인수 소거하기
분자와 분모가이라는 공통 인수를 가지고 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
4단계: 최종 답
간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
,
주어진 식에는이 필요합니다. 방정식에서 유추할 수 있기 때문에 는 표기할 필요 없습니다.
이해했는지 확인하기
다음은 무엇인가요?
유리식 간단히 하기 심화 문제에서 심화된 예제를 살펴보세요.