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기초 미적분학

코스: 기초 미적분학 > 단원 4

단원 1: 유리식을 가장 낮은 항으로 줄이기
수학
기초 미적분학
유리함수
유리식을 가장 낮은 항으로 줄이기
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유리식의 간단히 나타내기란?

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유리식을 간단히 나타내는 것이 무슨 뜻인지, 어떻게 하는 것인지 배워 봅시다!

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

유리식은 두 다항식의 분수꼴입니다. 유리식의 정의역은 분모가 0이 되게 하는 수를 제외하고 모든 실수를 포함합니다.
예를 들어 유리식 start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction의 정의역은 start text, negative, 1, end text을 제외한 모든 실수, 또는 x, does not equal, minus, 1입니다.
이 내용이 새롭다면, 유리식이란?을 권해드립니다.
이 단원을 진행하려면 다항식 인수분해 방법을 알아야 합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이 단원에서는 예제를 통해 유리식을 간단히 나타내는 방법을 배울 것입니다.

원리

유리식에서 분자와 분모에 공통 인수가 없을 때 간단히 나타내었다라고 할 수 있습니다.
숫자로 된 분수를 악분하듯 유리식을 간단히 나타낼 수 있습니다.
예를 들어 start fraction, 6, divided by, 8, end fraction을 약분하면 start fraction, 3, divided by, 4, end fraction입니다. 분자와 분모의 공통 약수 2를 약분한다는 점에 주목하세요.
68=2⋅32⋅4인수분해=2⋅32⋅4공통 약수 소거=34결과\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{인수분해}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{공통 약수 소거}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{결과}}} \end{aligned}

예제 1: start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction 간단히 하기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기
분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 보는 유일한 방법은 인수분해를 하는 것입니다.
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
이 지점에서 x에 제한이 있는지 보면 도움이 됩니다. 이는 방정식을 간단히 나타냈을 때도 똑같이 적용됩니다.
0으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd, start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff입니다.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
3단계: 공통인수 소거하기
이제 분자와 분모가 x라는 공통 인수를 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
4단계: 최종 답
주어진 식은 x, does not equal, 0, comma, minus, 5일 때, 성립합니다. 간단히 나타낸 식도 같은 조건을 가지고 있어야 합니다.
이러한 이유로, x, does not equal, 0을 명시해 주어야 합니다. x, does not equal, minus, 5를 명시할 필요는 없습니다. 식에서 유추할 수 있기 때문입니다.
따라서 간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, x, does not equal, 0

동치 식 참고사항

주어진 방정식\quad간단히 한 방정식
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction\quadstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction for x, does not equal, 0
위의 두 방정식은 동치입니다. 이는 함숫값이 모든 가능한 x값에 대해 같다는 뜻입니다. 아래 표가 x, equals, 2일 때 그 사실을 나타냅니다.
주어진 방정식\quad간단히 한 방정식
start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff일 때의 값(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3(\purpleC{2})}{(\purpleC{2})^2+5(\purpleC{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\cdot 5}{\purpleC{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleC{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
참고사항결과값은 공통 인수 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff를 약분해 간단히 할 수 있습니다.방정식을 간단히 하는 동안 이미 x의 인수를left parenthesis이 경우 start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis 소거했기 때문에 결과값이 이미 간단히 되어 있습니다.
이러한 이유로 두 방정식은 같은 대입값에 대해 같은 값을 가집니다. 하지만 주어진 방정식을 성립하지 않게 하는 값들은 이런 규칙을 깰 수 있습니다. start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff일 때를 봅시다.
주어진 방정식\quad간단히 한 방정식 (제약조건 없이)
start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff일 때의 값(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=성립하지 않음\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3(\purpleC{0})}{(\purpleC{0})^2+5(\purpleC{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{성립하지 않음}\end{aligned}0+30+5=35정의되지 않음\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{정의되지 않음}}\end{aligned}
두 방정식이 모든 가능한 대입값에 대해 동치여야 하기 때문에 간단히 한 방정식에 x, does not equal, 0이란 조건이 필요합니다.

오해하지 마세요

아래에서 x는 소거할 수 없습니다. 다항식의 인수가 아니라 항이기 때문입니다,
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
숫자로 된 예제를 보면 확실히 알 수 있습니다. 예를 들어 start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff라고 합시다.
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
분자와 분모가 인수분해된 형태여야만 소거할 수 있다는 것이 규칙입니다!

간단히 하는 과정의 요약

  • 1단계: 분자와 분모를 인수분해합니다.
  • 2단계: 조건 값들을 나열합니다.
  • 3단계: 공통 인수를 소거합니다.
  • 4단계: 방정식을 간단히 하고 방정식에서 유추할 수 없는 조건 값들을 나열합니다.

이해했는지 확인하기

1) start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction을 간단히 나타내세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction을 간단히 나타내세요.
, x, does not equal
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

예제 2: start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction 간단히 나타내기

1단계: 분자와 분모 인수분해하기
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
2단계: 해가 될 수 없는 값들 나열하기
0으로 나누는 것은 정의되지 않은 것이기 때문에 start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd, start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff입니다.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction
3단계: 공통인수 소거하기
분자와 분모가 start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995이라는 공통 인수를 가지고 있습니다. 이것을 소거하면 됩니다.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
4단계: 최종 답
간단히 나타낸 식은 다음과 같습니다:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction, x, does not equal, minus, 3
주어진 식에는 x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3이 필요합니다. 방정식에서 유추할 수 있기 때문에 x, does not equal, minus, 2는 표기할 필요 없습니다.

이해했는지 확인하기

1) start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction를 간단히 나타내세요.
정답을 한 개 고르세요:

4) start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction를 간단히 나타내세요.
, x, does not equal
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

다음은 무엇인가요?

유리식 간단히 하기 심화 문제에서 심화된 예제를 살펴보세요.