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주요 내용

미지수에 대한 추론: 나누어떨어짐

a, b, c 모두 양의 정수이며, a는 c의 배수이고 (a+b)/c는 정수입니다. b는 c의 배수가 될까요? 동영상 수업을 통해 확인해 봅시다.  만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

여기 세 정수 a, b, c가 있다고 합시다 이 정수들은 모두 0보다 큽니다 이 수들은 모두 0보다 큰 정수입니다 그리고 ( a + b ) / c 도 역시 정수입니다 ( a + b ) / c 를 계산하면 역시 정수가 되는 것입니다 마지막으로 a 는 c 로 나눌 수 있습니다 다시 말하자면 a 는 c 의 배수입니다 그러니까 a 는 c 로 나누어떨어지고 a 는 c 의 배수입니다 이것이 우리가 아는 조건입니다 a, b, c 는 모두 0 보다 큰 정수입니다 ( a + b ) / c 는 정수이고 a 는 c 의 배수입니다 즉 c 는 a 를 완전히 나눌 수 있습니다 지금 우리가 풀어야 할 문제는 b 가 c 의 배수여야 하는가? 입니다 저쪽에 적겠습니다 주어진 모든 조건을 고려했을 때 b 가 c 의 배수여야 할까요? 어떻게 해야 할지 봅시다 동영상을 멈추고 스스로 생각해보세요 b 가 c 의 배수인지 아닌지에 대해서요 답을 찾아봅시다 여기 이 식을 살펴봅시다 ( a + b ) / c 가 있고 이 식을 처리하여 여기서 어떤 결론을 도출해 낼 수 있을지 봅시다 먼저 ( a + b ) / c 를 a / c + b / c 로 바꿔 쓸 수 있습니다 이 식은 처음 식과 정확하게 일치합니다 그래서 이 전체가 정수라는 것을 알 수 있습니다 이 전체가 정수입니다 여기서 무엇을 알 수 있을까요? a / c 는 a ÷ c 입니다 a 는 c 로 나누어 떨어집니다 a 는 c 의 배수이니까 c 로 나누면 이것은 정수가 됩니다 써보겠습니다 여기 이 조건은 여기 있는 a / c 가 정수라는 것을 말해줍니다 이것은 정수가 됩니다 정수에 무엇인가를 더해서 전체가 정수가 되려면 더한 수는 반드시 정수여야 합니다 정수에 어떤 것을 더하여 정수를 얻는 유일한 방법은 더하는 수 역시 정수인 것입니다 정수에 정수가 아닌 수를 더하여 정수를 얻을 방법은 없습니다 그래서 이것은 반드시 정수여야 합니다 이제 b / c 가 정수라면 그것은 b 가 c 의 배수라는 뜻입니다 따라서 이 질문의 답은 '그렇다'가 됩니다