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주요 내용

유리식의 구조

복잡한 유리식을 분석해 어떤 것이 더 큰지 알아봅시다: 미지의 c에서 방정식의 값이 더 클까요, 아니면 방정식이 0과 같은 횟수가 더 많을까요? 대수식을 이용하여 해결하는 것이 제일 좋습니다! 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

자 입자의 위치가 다음과 같은 복잡한 식으로 표현이 된다고 가정합시다 그 위치는 양수일수도 음수일수도 있겠죠 그리고 여기 표현에서 (t-a) 곱하기(a-t) 곱하기 (t-a) 곱하기 (t-b) 전체가 a의 제곱 더하기 b의 제곱 전체의 제곱근 위에 있네요 또 그들은 c가 b보다 크고 b는 a보다 크고 a는 0보다 크다는 걸 얻을 수 있겠군요 위의 정보로부터 우리는 두 가지를 얻을 수 있겠네요 왼쪽에 c의 시간에 입자의 위치가 주어져 있고요 오른쪽에는 t의 함수인 p(t)를 0으로 만드는 시간의 개수가 주어져 있습니다. 여러분 지금 당장 비디오를 멈추고 둘 중에 어떤 게 더 큰 값인지 생각해보세요 자 p(c)가 p(t)를 0으로 만드는 시간의 개수보다 작을까요? 클까요? 이 외의 다른 보기로는 대소관계를 알기에는 정보가 부족하다 혹은 둘이 값이 같다 등이 있을 수 있겠죠 그러니까 한번 생각해보세요 둘 중 어떤 값이 더 클까요? 아니면 정보가 부족한가요? 그것도 아니면 둘이 같은가요? 생각 다 하셨나요? 그럼 이제 두 값 각각에 대해 생각해보도록 하죠 먼저, p(c)가 무엇인지 생각해보죠 p(c)의 값은 ... 마음대로 색깔을 바꾸고 싶지 않군요 가끔 그러긴 하지만 그러니까 p(c)를 정리하면 (c-a) 곱하기 그냥 색 한 개로 다 정리할게요 분자에는 (c-a) 곱하기 (a-c) 곱하기 (c-a) 곱하기 (c-b)가 있고요 분모에는 (a^2 +b^2)의 제곱근이 있어요 그래서 우리가 이 값에 대해 뭘 알죠? 우리가 여기 있는 이 값에 대해 뭘 알까요? 이 식에 있는 c를 다 하이라이트 할게요 c-a, a-c, c-a, c-b 문제에서 c가 b와 a보다 크고 모두 양수라고 주어졌군요 그렇다면 이 정보들로부터 이 식 (p(c)) 의 부호를 판단할 수도 있겠군요 이 식이 뭐가 되던간에 말이죠 먼저, c-a 의 경우는 c가 a 보다 크니까 양수겠군요 a-c의 경우는요? 글쎄요, a가 c보다 작으니까 당연히 음수겠군요 그 다음 c-a는 앞에서 양수라고 했고요 c-b 도 같은 논리로 양수겠군요 c가 b와 a 보다 크기 때문이죠 이제 분모에 대해 생각해보죠 루트 (a^2 + b^2)은 뭐, 양수겠지요 그럼 전체 식의 부호는 어떻게 될까요? 분자는 양수 곱하기 음수 곱하기 양수 곱하기 양수이므로 뭐가 될까요? 음수겠죠. 양수 곱하기 양수 곱하기 양수는 양수이고 거기다 음수를 곱했기 때문이죠. 결과적으로 음수 나누기 양수가 되니까 음수 나누기 양수는 뭐죠? 음수죠 결과적으로 우리는 실제 값을 알지는 못해요. 하지만 우리는 이 식이 음수라는 걸 알죠. 그리고 이 값은 양수로 끝나버리죠. 그러면 우리는 다음과 같은 얘기를 할 수 있어요 이 값도 음수잖아요 하지만 우리에게는 충분한 정보가 없죠 이제 p(t)를 0으로 만드는 시간의 개수에 대해서 생각해 봅시다. p(t)는 0이려면 여기 있는분자가 0이여야 하고 분자가 0이려면 우리는 하나, 둘, 셋, 총 네개의 인수가 있네요 만약 이 중 하나라도 0이 된다면 분자 전체는 0이 될 거에요. 자 이제 이 식을 0으로 만들 방법에 대해 생각해 봅시다. 각각의 인수에 대해 살펴봅시다 t와 a가 같으면 이건 0이 되겠죠 이것도 0이 될 겁니다. 이거도 0이 될 거죠. 그리고 이거는 t와 b가 같다면 0이 될것입니다. 결론적으로 분자를 0으로 만드는 값은 2개가 있군요 t가 a일때와 t가 b일때 총 2개의 시간이 있군요. 따라서 p(t)를 0으로 만드는 시간은 총 2개입니다. 이제 질문에 답할 수 있겠군요. 숫자 2, 양수 2와 어떤 음수 둘 중에 뭐가 더 클까요? 2는 모든 음수보다 크므로 2가 더 큰 값이겠군요.