유리방정식 문제 해결하기: 해 제거하기

두 마리의 말이 연못에 물을 채웁니다 두 말이 함께 일을 하면 12분이 소모됩니다 혼자 일을 하면, 한 말은 다른 말 보다 10분 더 빨리 일을 끝마칠 수 있습니다 10분 더 빨리 물을 채운다는 뜻입니다 각각의 말은 연못에 물을 채우는 데 몇 분씩이 걸릴까요? 그러므로 각각의 말에 대해서 생각해봅시다 두 말은 일을 처리하는 속도가 다릅니다 더 빠른 말이 연못을 채울 때 그 말은 연못을 채우는 데 f분이 걸린다고 합시다 그럼 더 느린 말의 작업 속도는 어떻게 될까요? 더 빠른 말이 느린 말에 비해 10분 더 적게 일하므로 '10분'이요 더 느린 말은 더 빠른 말보다 10분 더 많이 일합니다 따라서 더 느린 말의 작업시간은 f+10 분입니다 같은 연못에 대해서 몇 분이 걸렸는지를 나타내므로 분/연못 으로 표기하겠습니다 저는 단위 연못 당 걸린 시간을 나타냈습니다 하지만 우리가 지금부터 속도의 개념을 적용하려고 하면 단위는 연못/분 이 되어야 합니다 그러므로 각각을 단위 시간 당 채운 연못의 수 즉 연못/분 으로 다시 씁시다 그런다면 빠른 말은 1/f 연못/분 으로 느린 말은 1/f+10 연못/분 으로 고칠 수 있습니다 만약 여러분이 그냥단지 각각의 역수를 취했다면 이 비율은 f분당 1개의 연못을 채웠다는 뜻으로 새로운 표기를 이해하셔야 합니다 따라서 바뀐 표기는 새로운 내용을 의미하지 않습니다 그냥 비율의 역수를 취한 것입니다 아니면 분당 1/f 개의 연못을 채운다고 이해하시면 됩니다 여기서 같은 논리가 적용됩니다 여러분은 느린 말에 대해서도 1/f+10 연못/분 으로 다시 쓸 수 있습니다 우리는 이제 빠른 말의 작업 속도를 알고 있습니다 느린 말의 작업 속도 또한 알고 있습니다 1 분당 빠른 말은 몇 개의 연못을 채울 수 있을까요? 같은 시간 동안 느린 말은 몇 개의 연못을 채울까요? 두 속도를 더하면 우리는 드디어 이 두 말이 함께 작업할 때의 속도를 알 수 있습니다 1/f + 1/f+10 을 계산한다면 1/f는 빠른 말의 속도 1/f+10 은 느린 말의 속도이므로 이 덧셈은 우리에게 두 말이 1분동안 연못을 얼마나 채울 수 있는지 알려줍니다 이제 두 말의 공동 작업의 속도를 알았으므로 두 말이 연못 1개를 채우는 데 12분이 걸린다는 정보에 이 속도를 적용시켜 봅시다 공간이 부족하니 위쪽 여백에 판서하겠습니다 두 말의 작업 속도의 합은 12분/연못 입니다 12의 단위가 분/연못 이므로 앞에서와 마찬가지로 이것을 1/12 연못/분이라고 바라봅시다 여러분은 이 수치를 역수 또는 단위 시간 당 작업 연못 수로 해석하시면 됩니다 1/12 분 죄송합니다 1/12 연못/분 입니다 1분 당 1/12 개의 연못을 채운다는 뜻입니다 이해 되시죠? 왜나하면 전체 연못을 채우는 데 12분이 걸리기 때문입니다 그래서 1분에 1/12개의 연못이 채워지는 겁니다 이것은 두 말의 작업 속도의 합입니다 즉 1/f + 1/f+10 입니다 1/f + 1/f+10 = 1/12 이 방정식에서 f의 값을 구하고 f에 10을 더하면 느린 말의 작업 시간이 나옵니다 이제 양변에 같은 값을 곱해줍시다 그래야지 방정식을 풀 수 있죠? 양변에 f와 f+10을 곱해줍시다 좋아요 그러므로 방정식의 양변에 f와 f+10 을 곱해줍시다 xf(f+10) 화면 조금 내리겠습니다 화면을 옆으로 밀겠습니다 양해해 주십시오 이제 좌변에서 f(f+10)을 분배해줍시다 만약 f x (f+10) x 1/f 를 하면 f는 소거되고 f+10 이 계산 결과입니다 여기서도 동일하게 f와 (f+10)을 곱해주면 됩니다 이제 이 부분에 f x (1/f+10) x (f+10) 을 해주면 f+10 은 약분되고 f만 남을 것입니다 따라서 좌변에는 (f+10) + f 가 남습니다 잠시 뒤에 같은 원리로 양변을 12로 곱할 것입니다 조금 기다리세요 우변은 (1/12) x (f^2 + 10f) 입니다 f x f = f^2 이고 f x 10 = 10f 이기 때문입니다 이제 양변을 12로 곱해줍니다 앞 단계에서 같은 원리를 적용했으므로 이제 이해하기 쉬울 겁니다 좌변에 12를 곱해주면 12f + 120 + 12f 가 됩니다 우변에서는 분자와 분모의 12가 약분되고 f^2 +10f 가 남습니다 이제 이차방적식을 풀면 됩니다 이제 해를 구하기 위해서 식을 조작해봅시다 그 전에 식을 정리할 수 있습니다 12f + 12f 를 정리해서 좌변의 24f + 120 과 우변의 f^2 +10f 은 같다 그리고 좌변을 우변으로 이항합시다 그래서 식을 정리합시다 그러므로 식의 양변에 -24f -120 을 해줍니다 즉 -24f -120 을 하라는 뜻입니다 그러면 좌변은 0이 되는데 이것이 핵심입니다 우변의 이차항은 f^2 일차항은 (10-24)f = -14f 상수항은 -120 이제 인수분해 합시다 20 을 주목하세요 -20 과 6 곱하면 -120이 되는데 합이 -14이므로 인수분해 가능합니다 (f+20)(f-6) (-20) x 6 = 120 이고 (-20) + 6 =-14 입니다 우변이 0이 되려면 f - 20 = 0 또는 f + 6 = 0 이 되어야 합니다 양변에 20을더하면 f=20 이라는 해를 구할 수 있습니다 f는 한 연못을 채우는 데 빠른 말이 걸리는 시간입니다 또 다른 해를 구하려면 양변에 6을 빼줍니다 f = -6 이라는 해를 구했습니다 빠른 말의 연못을 채우는 데 걸리는 시간이 음수인 -6분이라는 것은 상식적으로 이해가 안 되시죠? 논리적 오류입니다 이 해는 정답으로 간주하지 않겠습니다 시간은 양수여야만 합니다 f는 빠른 말이 한 연못을 채우는 데 걸리는 시간으로 20분입니다 따라서 빠른 말의 작업 속도는 20 분/연못 입니다 정답을 작성하겠습니다 20 분/연못은 빠른 말의 정답입니다 느린 말에 대해서는 10분의 시간이 더 걸리므로 f+10 을 하면 30 분/연못 입니다 네 여러분께 혼란을 주었던 모든 요소가 정리됬습니다 한 연못을 채울 때 빠른 말은 20분이 걸리고 느린 말은 30분이 걸립니다 함께 작업한다면 12분이 걸리는데 빠른 말의 절반보다 조금 더 시간이 걸리네요 빠른 말 두 마리로 작업하면 10분이 걸릴 것입니다 하지만 빠른 말의 동료가 느린 말이므로 10분보다 더 많은 시간이 소요됩니다 이제 이해되셨나요? 함께 일하면 12분이 소요된답니다