유리함수의 양끝값

여기 x에 대한 함수 f가 주어져 있습니다 이 함수는 유리식으로 되어 있습니다 우리는 x가 －∞가 될 때 f(x)의 값은 어떤 값에 가까워지는지를 구해야 합니다 x가 점점 더 작아질 때 f(x)는 어떻게 될까요? 이제 영상을 잠시 멈추고 스스로 문제를 어떻게 풀어야 할지 생각해 보도록 합시다 x가 매우 커지거나 매우 작아질 때의 극한 값을 구할 때에는 함수를 다시 한 번 써보면 문제를 해결하는데 도움이 될 수 있습니다 f(x)를 다시 한 번 직접 써보면 f(x)를 다시 한 번 직접 써보면 f(x)는7x^2 - 2x를 15x - 5로 나누는 것입니다 x가 매우 커지거나, 매우 작아질 때 f(x)의 값이 어떻게 되는지를 구하는 좋은 방법은 분자와 분모를 모두 분모의 최고차항으로 나누는 것입니다 이 식에서 분모의 최고차항은 x이므로 x이므로 분자와 분모 모두에 1/x를 곱해줍시다 분자와 분모를 모두 x로 나눈다고 생각해도 됩니다 우리는 분자와 분모에 우리는 분자와 분모에 같은 값을 곱하거나 나누어 주었으므로 같은 값을 곱하거나 나누어 주었으므로 결국은 전체 식에 1을 곱하는 것과 같은 계산입니다 따라서 그 값에는 변화가 없습니다 이렇게 분자와 분모를 분모의 최고차항으로 나누어 주면 x를 매우 작게 했을 때 f(x)의 값이 어떻게 되는지를 조금 더 쉽게 생각할 수 있게 됩니다 7x^2를 x로 나누거나 1/x을 곱해주면 7x가 되고, 2x에 1/x를 곱하거나 x로 나누어주면 2가 됩니다 분모를 살펴보면 15x를 x로 나누거나 1/x를 곱해주면 15가 되고, 5에 1/x를 곱하면 5/x가 되므로 다음 항은 -5/x 가 됩니다 이제 이 식은 처음의 식과 동일하지만 x가 매우 작아질 때 f(x)의 값이 어떻게 변할지를 조금 더 쉽게 생각할 수 있게 되었습니다 x가 매우 매우 작아진다면 x가 매우 매우 작아진다면 7x는 절댓값이 매우 큰 음수가 될 것입니다 절댓값이 매우 크기 때문에 2를 빼는 것은 값에 큰 영향을 주지 않습니다 같은 이유로 이것을 15로 나눈다고 해도 값에는 큰 영향을 주지 않습니다 또, x가 매우 작아지면 5/x는 절댓값이 매우 작은 수가 될 것입니다 5를 절댓값이 5보다 훨씬 큰 음수로 나누기 때문입니다 나누기 때문입니다 따라서 5/x는 0에 수렴하게 됩니다 7x는 절댓값이 무한히 커지는 음수이므로 음의 무한대로 발산하게 됩니다 1조에 7을 곱해보고, 1구골에 7을 곱해보고, 1구골플렉스에 7을 곱해보고, 점점 더 절댓값이 큰 음수를 생각해보면 결국에는 음의 무한대로 발산하게 될 것입니다 음의 무한대에서 2를 뺴는 것은 아무런 영향을 주지 않습니다 실제로는 그 값이 오히려 더 작아질 것입니다 또한 이 값을 15로 나눈다고 해도 여전히 음의 무한대로 발산하게 됩니다 먄약에 절댓값이 매우 큰 음수가 있다면 그 값을 15로 나눈다고 해도 여전히 절댓값이 매우 큰 음수일 것입니다 따라서 f(x)는 음의 무한대로 발산한는 것입니다 이제 이러한 문제를 풀 때 이제 이러한 문제를 풀 때 주로 사용하는 다른 방법을 알아보도록 합시다 분자와 분모에서 어떤 항이 분자와 분모에서 어떤 항이 함수값에 가장 큰 영향을 줄까요? 만약에 x가 매우 커지거나 매우 작아진다면 x의 차수가 높을수록 x의 절댓값이 커지게 됩니다 차수가 높은 항이 차수가 낮은 항보다 그 절댓값이 더 빨리 증가하게 됩니다 그 절댓값이 더 빨리 증가하게 됩니다 x가 매우 큰 경우를 생각해봅시다 여기서 x의 값이 매우 크다는 것은 그 절댓값이 매우 크다는 의미로 x가 음의 무한대로 가는 경우도 x의 절댓값이 매우 큰 경우입니다 f(x)는 대략적으로 분모의 최고차항인 7x^2를 분자의 최고차항인 15x로 나눈 것과 같습니다 15x의 값이 커지면 커질수록 +5는 그 값에 점점 더 작은 영향을 끼칠 것입니다 따라서 분모는 대략적으로 15x와 같습니다 즉 f(x)는 대략적으로 7x/15가 됩니다 이제 여기서 x가 매우 작은 값이 된다면 f(x)의 값은 점점 더 절댓값이 큰 음수 값을 가지게 됩니다 따라서 x가 -∞로 가게 되면 f(x)의 값도 -∞로 가게 될 것입니다 다음 문제는 q(x)의 수평 점근선을 구하는 문제입니다 수평 점근선은 x가 양의 무한대, 음의 무한대로 갈 때 f(x)의 값은 어디에 가까워지는지를 의미하는 것입니다 이 문제와는 상관 없는 몇 가지 예시를 들어보겠습니다 수평 점근선이 y = 2인 수평 점근선이 y = 2인 어떤 함수를 생각해봅시다 이 점의 y값이 2이므로 직선 y = 2를 그려주면 이 직선이 함수의 수평점근선이 됩니다 이제 y = 2를 수평 점근선으로 갖는 몇 가지의 그래프를 그려봅시다 몇 가지의 그래프를 그려봅시다 이 점에서 시작하여 증가하고 감소하다가 x가 매우 큰 값이 되면 절대 y = 2 를 넘어서지는 않으면서 그 직선에 점점 더 가까워지게 됩니다 그리고 반대쪽에도 같은 방법으로 그려질 것입니다 x가 매우 작은 값이 되면 절대 y = 2에 도달하지는 않으면서 y = 2와 점점 더 가까워지게 됩니다 같은 점근선을 갖는 다른 그래프도 그려보겠습니다 다른 그래프도 그려보겠습니다 x가 매우 작은 값을 가질 때에는 아래쪽에서 수평 점근선과 가까워지고, x가 매우 큰 값을 가질 때에는 위쪽에서 수평 점근선과 가까워지는 것입니다 또, 이와 반대로 그리는 것도 가능합니다 또, 이와 반대로 그리는 것도 가능합니다 이제 수평 점근선이 무엇인지 알게 되었을 것입니다 x가 매우 커지거나 매우 작아졌을 때, f(x)의 값이 어디에 가까워지는지를 보여주는 것입니다 이 문제를 풀기 위해서 이전의 문제에서 했던 것과 같은 방법을 사용해봅시다 분자와 분모를 분모의 최고차항으로 나누어주면 어떻게 될까요? 분모의 최고차항이 x^9이므로 분자와 분모를 x^9로 나누어주면 6x^5는 6/x^4가 되고, 6/x^4가 되고, -2는 -2/x^9가 됩니다 분모를 살펴보면 3x^2는 3/x^7이 되고, x^9는 1이 됩니다 여기서 x가 한없이 커지거나 작아진다면 6을 매우 큰 수로 나누는 것이므로 6/x^4는 0에 수렴하게 될 것입니다 같은 방법으로 2/x^9도 x의 부호와는 상관 없이 0에 수렴하게 됩니다 따라서 분자는 0에 수렴하게 됩니다 분모의 3/x^7도 같은 방법으로 3을 무한히 큰 수로 나누는 것이므로 x의 부호와는 상관 없이 x의 부호와는 상관 없이 0에 수렴하게 될 것입니다 만약 x가 절댓값이 매우 큰 음수가 된다면 이 항은 0보다 작은 수에서 0과 점점 더 가까워지게 될 것입니다 만약 x가 매우 큰 양수가 된다면 이 항은 0보다 큰 수에서 0과 점점 더 가까워지게 될 것입니다 따라서 이 세 항은 모두 0으로 수렴하게 되고, 이 항은 그대로 1이 됩니다 분자는 0으로 수렴하고 분모는 1로 수렴하므로 결국 q(x)는 0에 수렴하게 됩니다 따라서 q(x)의 경우에는 y = 0 이 수평점근선이 됩니다 y = 0 이 수평점근선이 됩니다 이 함수의 그래프를 정확하게 그릴 수는 없지만 직선 y = 0을 그려서 수평 점근선을 찾고 이 직선에 가까워지도록 그래프를 그리면 됩니다 그래프는 위쪽에서 접근할 수도 있고 아래쪽에서 접근할 수도 있습니다 다른 문제를 풀어봅시다 x가 -∞로 가면 f(x)는 어떤 값에 가까워지나요? 분자와 분모를 분모의 최고차항으로 나누어봅시다 분모의 최고차항은 x^4입니다 따라서 분자와 분모를 모두 x^4로 나누어 줍니다 3 - 7/x^2 - 1/x^4 1 - 2/x + 3/x^4 1 - 2/x + 3/x^4 이 식은 원래 식과 동일한 식으로 x가 한없이 작아질 때 f(x)의 값이 어떻게 되는지 알아보기 쉽도록 변형시킨 것입니다 조금 전에 분자와 분모를 x^4로 나누었습니다 그러면 x가 한없이 작아질 때 f(x)는 어떻게 될까요? 7/x^2는 0에 수렴할 것이고 1/x^4도 0에 수렴합니다 2/x도 0에 수렴할 것이고 3/x^4도 0에 수렴할 것입니다 이 네 개의 항이 모두 0으로 수렴하므로 f(x)는 남은 항들을 계산한 값으로 수렴하게 될 것입니다 따라서 이 함수는 3에 수렴하게 됩니다 f(x)의 극한값을 찾는 다른 방법은 최고차항만 보는 방법입니다 분자, 분모 각각의 최고차항인 3x^4와 x^4만 생각해봅시다 나머지 항들은 최고차항에 비해서 그 영향이 훨씬 적으므로 무시해도 됩니다 따라서 f(x)는 매우 큰 x에 대해서 대략적으로 3x^4 / x^4가 됩니다 음의 무한대도 절댓값이 매우 큰 수이므로 x가 음의 무한대가 될 때 f(x)는 대략적으로 3이 됩니다 즉 3에 수렴하게 됩니다 이러한 문제는 이렇게 두 가지 방법으로 해결할 수 있습니다