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유리식의 덧셈과 뺄셈 (심화)

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유리식을 더하고 빼는 법을 잘 익혔나요? 좋습니다! 이제 조금 더 어려운 예제를 살펴봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

유리식은 두 다항식의 분수꼴입니다.

분모가 동일한 두 유리식을 더하거나 빼기 위해서, 분자들을 더하거나 빼고, 그 결과를 공통분모 위에 나타내면 됩니다.

분모가 동일하지 않을 때, 동일하게 되도록 조작해야 합니다. 즉, 공통분모를 구해야 합니다.

이 내용이 새롭다면, 다음 내용을 먼저 확인합니다:

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는, 분모가 다른 유리식들을 더하고 빼는 연습을 할 것입니다. 다음 예제에서 최소공통분모를 사용하고, 왜 이것을 공통분모로 사용하는게 도움이 되는지 살펴볼 것입니다.

웜업: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

두 유리식을 빼기 위해서, 두 유리식은 각각 같은 분모를 가지고 있어야 합니다!

이 예제에서, 첫 번째 분수에

(\frac{x + 1}{x + 1})

을, 두 번째 분수에

(\frac{x - 2}{x - 2})

를 곱하여 공통분모를 만들 수 있습니다.

그 다음, 분자들을 빼고 그 결과를 공통분모 위에 올리면 됩니다.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) & 공통분모 만들기 \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} & 빼기 \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

이해했는지 확인하기

1) $\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =$ ‍

최소공통분모

숫자로 된 분수

가끔, 두 분수의 분모들은 다르지만 같은 약수를 가진 경우가 있습니다.

예를 들어,

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

이 있습니다:

$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) & 최소공통분모 만들기 \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

이 예제에서 사용된 공통분모는 두 분모의 곱

(24)

이 아니라는 것에 주의하세요. 대신,

4

와

6

의 최소공배수

(12)

가 사용되었습니다.

두 정수의 최소공배수

(LCM)

는 두 정수로 나눌 수 있는 제일 작은 수입니다.

두 정수에 공약수가 없다면,

LCM

은 두 정수의 곱입니다. 그러나, 공약수가 있다면,

LCM

는 두 정수의 곱이 아닙니다.

LCM

에서 공약수는 한 번만 등장하기 때문입니다. 예를 들어:

$4$ ‍와 $6$ ‍의 공약수는 $2$ ‍이므로, $4$ ‍와 $6$ ‍의 $LCM$ ‍은 $12$ ‍이지, $4 \cdot 6 = 24$ ‍가 아닙니다.
$6$ ‍과 $15$ ‍의 공약수는 $3$ ‍이므로, $6$ ‍과 $15$ ‍의 $LCM$ ‍은 $30$ ‍이지, $6 \cdot 15 = 90$ ‍이 아닙니다.

두 개 이상의 분모들의 최소공배수는 최소공통분모라고 합니다.

변수를 포함한 식

이 논리를 다음 덧셈에 적용해 봅시다:

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

우선, 최소공통분모를 구해봅시다:

최소공통분모는

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

입니다.

다음과 같이 유리식을 더할 수 있습니다:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) & 최소공통분모 \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & 더하기 \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

이해했는지 확인하기

2) $\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =$ ‍

3) $\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =$ ‍

심화문제

4*)

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

이 경우, 분모는 인수분해된 꼴이 아니라는 것을 주의하세요. 따라서 인수분해부터 합니다.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}

최소공통분모를 구하기 쉬워졌습니다.

최소공통분모는

(x - 1) (x + 1) (x - 4)

입니다.

다음과 같이 유리식을 더할 수 있습니다:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} \\ = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} (\frac{x - 4}{x - 4}) + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} (\frac{x - 1}{x - 1}) & 최소공통분모 \\ = \frac{2 (x - 4)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} + \frac{1 (x - 1)}{(x - 4) (x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{2 (x - 4) + 1 (x - 1)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} & 더하기 \\ = \frac{2 x - 8 + x - 1}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \\ = \frac{3 x - 9}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \end{aligned}

왜 최소공통분모를 사용하나요?

유리식을 더하거나 빼기 위해 최소공통분모를 사용하는 것이 왜 중요한지 궁금할 것입니다.

최소공통분모를 사용하는 것은 필수도 아니고, 숫자로 된 분수에서는 다른 분모를 쓰는 것이 더 쉬워보이기도 합니다.

예를 들어, 아래 표는 다른 공통분모를 사용하여

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

을 계산합니다 — 하나는 최소공통분모

(12)

를, 다른 하나는 두 분모의 곱

(24)

을 사용합니다.

최소공통분모 $(12)$ ‍	‍공통분모 $(24)$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

24

를 공통분모로 사용할 때, 과정이 더 깁니다. 숫자들이 더 크고 계산 결과를 약분해야 합니다.

유리식을 더하거나 뺄 때 최소공통분모를 사용하지 않으면 같은 상황이 발생합니다.

그러나, 유리식에서는 이 과정이 더 복잡합니다. 분자와 분모가 정수가 아닌 다항식이기 때문이죠! 더 높은 차수의 다항식을 계산해야 하고, 분수를 약분하기 위해서 다항식을 인수분해해야 합니다.

이 문제를 다시 가져와 봅시다.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고, 두 번째 분수에 첫 번째 분수의 분모를 곱하여 공통분모를 얻는다고 가정합니다. 공통분모가 되지만 최소공통분모는 아니라는 것에 주의합니다.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & 더하기 \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & 5 x 로 묶 기 \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & 인수 x + 1 소거하기 \end{aligned}

최종 정답을 찾는 동안, 훨씬 더 많은 작업이 필요합니다!

유리식을 더하거나 뺄 때, 이런 잡다한 과정은 최소공통분모를 사용하여 피할 수 있습니다.

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