행렬 연산의 성질

사관 학교에 입학하기 위해서 사관 후보생들은 입학 시험을 봐야 합니다 그 입학 시험 중에는 수학 시험도 포함되어 있습니다 Graff 대령이 시험을 본 학생들의 점수를 매길 수 있도록 도와주세요 이 행렬 곱셈 문제의 마지막 단계는 행렬 ABC의 값을 구하는 것입니다 이 때 행렬 A와 B와 C는 정방행렬입니다 다음 보기 중에서 이 식과 같은 값을 의미하는 식은 무엇입니까? A,B,C를 만족하는 것은 일단 모두 고르세요 즉, 만족하는 모든 식을 구하세요 잠시 이 동영상을 일시 정지하고 생각해 보는 것은 어떨까요? 보기에 있는 식 중에서 어떠한 식들이 여기 ABC의 식과 같을까요? 일단 한 가지씩 모두 해 봅시다 첫 번째는 BAC네요 순서를 바꿨다는 것을 알 수 있습니다 우리는 이미 행렬에서 주로 교환 법칙이 성립하지 않는다는 것을 배웠습니다 그러니 이 식은 정방 행렬 A,B,C 중 어떤 것도 만족하지 않습니다 이 보기는 옳지 않습니다 행렬의 곱셈에서는 교환 법칙이 성립하지 않습니다 이 보기에서는 Bernard가 A(CB)라고 썼네요 우리는 이미 A(CB)가 ACB와 같다는 것을 알고 있습니다 여기에서는 B와 C 행렬의 순서를 바꾸었습니다 아까도 말했듯이, 행렬의 곱셈에서는 교환 법칙이 성립하지 않습니다 순서를 바꿔 놓고 행렬 A,B,C의 곱과 같은 값을 얻을 수는 없습니다 그러니 Bernard의 보기도 틀린 것입니다 세 번째 보기는 A(BC)네요 우리는 이미 행렬의 곱셈에서 결합 법칙이 성립된다는 것을 알고 있습니다 그러니 이것은 ABC와 같은 값입니다 Carn이 말한 이 세 번째 보기는 옳은 답입니다 이는 A,B,C의 정방행렬과 모두 같고, 그것은 ABC와 같습니다 이제 Ducheval이 말한 네 번째 보기를 봅시다 조금 이상한 식처럼 보일 수도 있지만, 천천히 생각해 보도록 할게요 일단 행렬의 곱셈에서 순서만 잘 지킨다면 분배 법칙이 성립한다는 사실을 기억해야 합니다 이쪽의 식의 첫 부분은 일단-- 옆에다 써서 설명하도록 하겠습니다-- A 곱하기 BC 더하기 A 빼기 A^2가 있습니다 이 A를 분배하여 곱하면-- 그 전에 간단히 2*2 행렬을 사용해서 여러분이 직접 증명해 보길 바랍니다- A 곱하기 BC는 ABC, 그 옆은 A 곱하기 A가 됩니다 따라서 전체 식은 ABC+A^2-A^2라고 표현할 수 있습니다 이 두 개의 항은 서로 소거됩니다 결과적으로는 영행렬이 되는 것입니다 그리고 영행렬을 ABC와 더하면 결과적으로는 ABC만 남게 됩니다 이 식이 조금 복잡하기는 했지만, 기존의 식과 동일한 값을 가지므로 세 번째와 네 번째 보기가 답입니다 여기 있는 다섯 번째 보기는 Ax(B+C)라서 조금 함정이 숨겨져 있긴 합니다 하지만 B와 C를 곱하는 것이 아니기 때문에 ABC와 같지 않으므로 답이 아닙니다