행렬의 곱셈

이곳에 숫자를 가로와 세로로 나열해 놓은 행렬 2개가 있습니다 행렬 E와 행렬 D입니다. 그리고 행렬 E와 행렬 D가 무엇인지 물어보고 있습니다. 즉, 행렬E와 행렬D의 곱을 물어보고 있습니다. 제가 지금 무엇을 하고 있는지 기억하기 위해서 이걸 복사해서 붙여넣기 할 것 입니다. 그리고 제 작은 패드를 꺼내보겠습니다. 이것을 패드에 복사하겠습니다 이제 필요한 정보는 모두 있습니다. 그러면 이제 이 문제를 해결해 봅시다. 행렬 E 곱하기 행렬D는-- 이 부분은 모두 행렬 E에 관련된 것입니다 그래서 0, 3, 5, 5, 5, 2 곱하기--행렬 D입니다 이것을 3, 3, 4, 4, -2, -2에 곱해 보겠습니다 이제 가장 먼저 확인해야 할 것은 이 식이 유효한 식인가 입니다. 행렬 곱셈은 사람이 만들어낸 식이기 때문에 --사실 모든 식이 다 그렇기는 하지만요-- 몇 가지 독특한 성질을 가지고 있습니다 사람들이 행렬 곱셈을 정의한 방법은 우리가 가지고 있는 두 개의 행렬을 곱할 때만 유효하다는 것 입니다. 이쪽에 있는 행렬은 두 개의 열과 세 개의 행을 가지고 있습니다 그러니 2 곱하기 3의 행렬이지요 이 행렬은 3개의 열과 2개의 행을 가지고 있으니 3 곱하기 2의 행렬입니다 아까 말했듯이 행렬끼리의 곱셈이 가능할 경우는 한 쪽 행렬의 행의 개수가 다른 쪽 행렬의 열의 개수와 같을 때 입니다. 이 상황에서 위 조건을 만족하기 때문에 두 행렬을 곱할 수 있는 것입니다 이 두 수들이 같지 않았다면, 그러니까 이쪽 행의 개수와 이쪽 열의 개수가 같지 않았다면 사람들이 정한 행렬의 곱에 대한 정의에 따를 때 이 식은 유효하지 못한 식이 되었을 것입니다 그리고 항상 기억해야 하는 다른 한 가지는 E 곱하기 D는 D 곱하기 E와 항상 같진 않다는 것입니다 행렬을 곱할 때는 순서가 중요합니다 일반적인 수를 계산할 때는 상관이 없지만 행렬에서는 반드시 신경 써야 합니다 이제 이 식을 풀어봅시다. 우리가 얻게 될 결과는 2 곱하기 2의 행렬입니다 하지만 계산을 많이 해야 할 것 같으니 이쪽에 자리를 더 만들고 나서 시작하도록 하겠습니다 그 전에 이쪽에 엄청 큰 2 곱하기 2 행렬을 그리도록 하겠습니다 그래서 이 행렬의 왼쪽 상단 부분의 값은 이쪽 열과 이 값의 곱이 될 것입니다 각각을 벡터로 보고 내적에 대해서 조금 아는 것이 있다면 이것과 저것의 내적의 값을 가지고 계산을 할 것입니다 제가 지금 무슨 말을 하는 것인지 못 알아듣는다면 직접 보여드리겠습니다 가장 첫 부분은 0x3+3X3+5x4입니다 이것이 왼쪽 상단 부분의 값입니다 벌써부터 공간이 부족할 것 같아 보이네요 그러니 이를 오른쪽으로 조금만 움직여서 공간을 좀 더 만들도록 하겠습니다 자 이제 오른쪽 상단 부분의 값을 쓸 수 있겠네요 이것은 왼쪽 상단이고 이제 오른쪽 상단을 계산할 것입니다 오른쪽 상단 부분은 이 열과 이 행을 곱한 값입니다 상단 부분이 첫 번째 행렬에서는 열을 가지고 오고 두 번째 행렬에서는 행을 가지고 온다는 것을 기억하세요 이 과정은 식의 위치를 정해 주는 것과 비슷합니다 다시 돌아가자면, 0x4+3x(-2)+5x(-2)입니다 다시 돌아가자면, 0x4+3x(-2)+5x(-2)입니다 이런 식으로 계산해 주면 됩니다 왼쪽 아랫부분에 들어갈 것은 이쪽의 두 번째 열과 이쪽의 첫 번째 행을 곱한 값입니다 그러니 5x3+5x3+2x4입니다 이제 거의 끝났습니다 이제 곱셈을 하거나, 아니면 이 열의 내적과 이 행을 가져와서 계산하면 됩니다 그러므로 5x4+5x(-2)+2x(-2)입니다 그러므로 5x4+5x(-2)+2x(-2)입니다 이것은 지금부터 계산할 식의 값과 같습니다 0 곱하기 3은 0입니다 9 더하기 20은 29입니다 모두 29로 간단하게 표현되지요 이것은 모두 0입니다 이것은 -6입니다 그리고 이것은 -10입니다 결과적으로 간단히 나타내면 -16이 됩니다 이쪽에 있는 15 더하기 15, 즉 30 더하기 8은 38입니다 마지막으로, 20 빼기 10 빼기 4는 6입니다 그래서 결과적으로 6이 되는 것이지요 결국 29, -16, 38, 그리고 6이라는 값이 나옵니다 답을 확인해보도록 합시다 맞았군요!