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코스: 기초 미적분학 > 단원 10

단원 7: 극한값 구하기 과정 선택
수학
기초 미적분학
극한과 연속
극한값 구하기 과정 선택
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극한을 구할 때의 접근방법

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이는 다양한 조건에서 극한값을 구할 수 있는 방법들입니다. 이를 모두 아는 것뿐만 아니라 언제 어떤 방법을 쓰는지를 아는 것도 중요합니다.
여기 극한을 계산하는데 도움이 되는 편리하고 멋진 차트가 있습니다.
플로우차트에는 다음과 같이 옵션 A부터 H까지 있습니다. A단계, 바로 대입하기. 함수를 직접 계산해 보세요. a를 f에 대입하는 것은 옵션 B에서 D까지 이어집니다. 옵션 B: f(a) = b/0. 여기서 b는 0이 아닙니다. 결과는 (아마) 점근선이 될 것입니다. 예시: x->1일 때, 1을 x -1로 나눈 분수의 극한. x = a에서 함수에 대하여 자세히 알아보려면, 그래프나 표를 사용하여 확인해 보세요. 옵션 C: f(a) = b, 여기서 b는 실수입니다. 결과는 (아마) 극한이 나올 것입니다. 예시: x->3일 때, x²의 극한 = 3² = 9. 옵션 D: f(a) = 0/0. 결과는 부정형입니다. 예시: x->-1일 때, (x² - x - 2)/(x² - 2x - 3). 옵션 D가 나온 경우, 동일한 형식으로 극한을 다시 나타내 보세요. 이는 옵션 E에서 G까지 이어집니다. 옵션 E: 인수분해. 예시: x->-1일 때 (x² - x - 2)/(x² - 2x - 3) 는, 인수분해하고 소거하면, x->-1일 때 (x - 2)/(x - 3)으로 정리할 수 있습니다. 옵션 F: 켤례. 예시: x->4일 때 (√x - 2)/(x - 4)는, 켤례와 소거를 이용하여, x->4일 때 1/(√x + 2)로 다시 나타낼 수 있습니다 옵션 G: 삼각공식. 예시: x->0일 때 sin(x)/sin(2x)는, 삼각공식을 이용하여, x->0일 때 1/2cos(x)로 다시 나타낼 수 있습니다. 옵션 E에서 G까지 사용하여, 새로운 형식에서의 극한을 계산해보고, A(바로 대입하기)로 돌아오세요. 마지막 옵션 H, 근사값: 다른 모든 것이 실패할 경우, 그래프와 표는 극한의 근사값을 구하는데 도움이 될 수 있습니다.
핵심 #1: 바로 대입하기는 먼저 해보는 방법입니다. 이 방법이 실패했을 때에만 다른 방법을 사용합니다. 그렇지 않으면, 필요 이상으로 계산이 길어집니다. 예를 들어, 바로 대입하기로 인수분해를 하지 않고 계산했다면 식을 인수분해하여 단순한 형태로 만드는 것은 추가적인 작업이 될 것입니다.
핵심 #2: b/0(여기서, b≠0)와 0/0을 구하는 것은 완전히 다릅니다. b/0를 구할 때, 극한은 존재하지 않다는 것을 암시하고 무한할(점근선) 것입니다. 반면 0/0을 구할 때, 극한이 존재하는지 그렇지 않은지 결정하는데 정보가 별로 필요 없다는 것을 암시하는데, 그래서 부정형이라고 불리는 것입니다. 여기서 마무리하면 할 일이 많아지는데, 플로우차트 아래 절반이 작용하게 됩니다.
참고: 로피탈의 법칙이라는, 한계를 구하는 강력한 방법이 있습니다. 나중에 배웁니다. 아직 도함수를 배우지 않았기 때문에 여기서 다루지는 않습니다.

바로 대입하기 연습

문제 1
g(x)=x−3x+5−3
limx→4g(x)를 구하고자 합니다.
바로 대입하기를 이용하면 무슨 일이 일어나나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
h(x)=1−cos⁡(x)2sin2⁡(x)
limx→0h(x)를 구하고자 합니다.
바로 대입하기를 이용하면 무슨 일이 일어나나요?
정답을 한 개 고르세요:

부정형 연습

연습문제 3
저스틴은 limx→−1x+1x2+3x+2을 구하고자 합니다.
바로 대입하기를 이용하면, 00이 나옵니다.
저스틴의 다음 단계로, 어떤 방법을 활용할까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 4
캐서린은 limx→−34x+28−4x+3를 구하고자 합니다.
바로 대입하기를 이용하면, 00이 나옵니다.
캐서린의 다음 단계로, 어떤 방법을 활용할까요?
정답을 한 개 고르세요:

개념 합치기

연습문제 5
질의 선생님은 (아래) 플로우차트를 주고, f(x)=x2−25x2−10x+25에서 limx→5f(x)를 구하라고 하였습니다.
플로우차트에는 다음과 같이 옵션 A부터 H까지 있습니다. A단계, 바로 대입하기. 함수를 직접 계산해 보세요. a를 f에 대입하는 것은 옵션 B에서 D까지 이어집니다. 옵션 B: f(a) = b/0. 여기서 b는 0이 아닙니다. 결과는 (아마) 점근선이 될 것입니다. 옵션 C: f(a) = b, 여기서 b는 실수입니다. 결과는 (아마) 극한이 나올 것입니다. 옵션 D: f(a) = 0/0. 결과는 부정형입니다. 옵션 D가 나온 경우, 동일한 형식으로 극한을 다시 나타내 보세요. 이는 옵션 E에서 G까지 이어집니다. 옵션 E: 인수분해. 옵션 F: 켤례. 옵션 G: 삼각공식. 옵션 E에서 G까지 사용하여, 새로운 형식에서의 극한을 계산해보고, A(바로 대입하기)로 돌아오세요. 마지막 옵션 H, 근사값: 다른 모든 것이 실패할 경우, 그래프와 표는 극한의 근사값을 구하는데 도움이 될 수 있습니다.
아래 카드를 드래그하여 질이 극한을 구하는 순서를 보여주세요.
A. 바로 대입하기
B. 점근선
C. 극한 구하기
D. 부정형
E. 인수분해
F. 켤레 활용하기
G. 삼각함수 공식 사용하기
H. 근삿값

연습문제 6
편양의 선생님은 (아래) 플로우차트를 주고, f(x)=2x−5−1x−3 에서 limx→3f(x)를 구하라고 하였습니다
플로우차트에는 다음과 같이 옵션 A부터 H까지 있습니다. A단계, 바로 대입하기. 함수를 직접 계산해 보세요. a를 f에 대입하는 것은 옵션 B에서 D까지 이어집니다. 옵션 B: f(a) = b/0. 여기서 b는 0이 아닙니다. 결과는 (아마) 점근선이 될 것입니다. 옵션 C: f(a) = b, 여기서 b는 실수입니다. 결과는 (아마) 극한이 나올 것입니다. 옵션 D: f(a) = 0/0. 결과는 부정형입니다. 옵션 D가 나온 경우, 동일한 형식으로 극한을 다시 나타내 보세요. 이는 옵션 E에서 G까지 이어집니다. 옵션 E: 인수분해. 옵션 F: 켤례. 옵션 G: 삼각공식. 옵션 E에서 G까지 사용하여, 새로운 형식에서의 극한을 계산해보고, A(바로 대입하기)로 돌아오세요. 마지막 옵션 H, 근사값: 다른 모든 것이 실패할 경우, 그래프와 표는 극한의 근사값을 구하는데 도움이 될 수 있습니다.
아래 카드를 드래그하여 편양이 극한을 구하는 순서를 보여주세요.
A. 바로 대입하기
B. 점근선
C. 극한 구하기
D. 부정형
E. 인수분해
F. 켤레 활용하기
G. 삼각함수 공식 사용하기
H. 근삿값

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