불연속성 없애기 (약분)

함수 f(x)＝6x²＋18x＋12/x²－4는 x＝±2에서 정의되지 않습니다 만약 x＝±2라면 x²이 4와 같아질 것이며 4－4＝0이므로 분모가 0이 되기 때문에 정의되지 않습니다 0으로 나누는 경우는 정의되지 않았으므로 나눴을 때 어떤 일이 일어날 지 모릅니다 f(x)가 저 지점에서 연속이려면 f(-2)가 어떻게 정의되어야 할까요? f(x)를 간단히 만들어봅시다 분자의 모든 항에서 6을 묶어내면 6(x²＋3x＋2)가 되고 분모는 두 제곱수의 차이므로 (x＋2)(x－2)입니다 이제 분자를 인수분해해 볼까요? 곱해서 2가 되고 더해서 3이 되는 두 수는 2와 1입니다 그래서 분자는 6(x＋2)(x＋1)로 인수분해됩니다 두 인수를 곱해보면 x²＋3x＋2가 되며 이것을 (x＋2)(x－2)로 나눠줍니다 x ≠ -2이므로 분자와 분모에서 x＋2를 나눌 수 있습니다 제한 조건을 만든 이유는 만약 x＝-2라면 x＋2가 0에 수렴하게 되므로 나눌 수 없습니다 0으로 나누는 것의 의미를 모르기 때문입니다 이제 이 식에서 x가 -2가 아니라는 가정 하에 분모와 분자를 x＋2로 나눌 수 있습니다 분모와 분자를 x＋2로 나누면 6(x＋1)/x－2가 됩니다 식을 변형했기 때문에 제약 조건이 필요합니다 이 식은 x＝-2에서 정의되기 때문에 원래 식과 같아지려면 범위를 제한해야 합니다 따라서 x ≠ -2이고 여기서 x ≠ 2인 것도 자명합니다 0으로 나눌 수 없기 때문에 x＝2에서 정의되지 않습니다 그러므로 명확하게 하자면 x ≠ ±2라고 할 수 있습니다 문제에서 함수가 저 지점에서 연속이기 위해 f(-2)를 어떻게 정의해야 하는지 물었습니다 f(x)는 x＝-2에서 정의되지 않는 것 외에는 이 식과 같습니다 식이 원래 함수와 동일하게 만들기 위해 제한 조건을 둔 것입니다 함수를 재정의하여 저 지점에서 연속으로 하려면 x＝-2일 때 이 식의 값을 f(x)의 값으로 정의하면 됩니다 생각해 봅시다 6(-2＋1)/－2－2를 계산하면 이것은 6 × -1이 되고 -6/-4 즉 3/2입니다 f(x)를 x ≠ ±2에서 6x²＋18x＋12/x²－4이고 x＝-2일 때 3/2로 재정의하면 이 함수는 이 식과 완전히 같아집니다 원래 f(x)를 새롭게 확장하여 정의한 새 함수는 6(x＋1)/x－2와 같아집니다 따라서 f(x)가 연속이기 위한 f(-2)의 정의를 묻는 문제에 대한 답은 f(-2)＝3/2입니다