표를 이용해 극한값 추정하기

극한은 함수의 움직임을 추론하는 데 유용한 도구이며, 표는 극한에 대해 추론하는 데 유용한 도구입니다. 표의 장점은 그래프를 눈으로 훑는 것보다 극한값을 더 정확하게 추정할 수 있다는 것입니다.

표를 이용해 극한을 추정할 때는, 원하는 $x$‍값에 "무한히 가까워지는" 느낌을 낼 수 있게끔 표를 만드는 것이 중요합니다.

다음 극한값을 추정해야 한다고 합시다:

알아두기: 함수는 $x=2$‍에서 정의되지 않는데, 이는 분모가 $0$‍이 되기 때문입니다. 하지만 $x$‍가 $2$‍에 가까워질 때의 극한값은 여전히 존재합니다.

1단계: $x=2$‍보다 약간 작은 값(즉, 일반적인 $x$‍축에서 $2$‍보다 약간 "왼쪽"에 있는 값)을 선택해야 하므로, $x=1.9$‍와 같은 값으로 시작해 봅시다.

2단계: $x$‍값을 한두 개 더 사용해서 왼쪽에서 $x=2$‍에 무한히 가까워지는 느낌을 내세요.

선택한 $x$‍값들 $\{1.9,1.99,1.9999\}$‍와 $x=2$‍에 "점점 가까워지고" 있다는 사실에 주목하세요. $\{-1,0,1\}$‍과 같이 일정하게 커지는 $x$‍값들은 잘못된 선택으로, $x=2$‍에 무한히 가까워지는 느낌을 내기에 적절하지 않았을 것입니다.

3단계: 왼쪽과 마찬가지로, 오른쪽에서 $x=2$‍를 향해 가까워져야 합니다. 이는 $x=2$‍에 무한히 가까워지는 느낌이 나게 하는 방식으로 해야 합니다.

(알아두기: 표에서 $x=2$‍를 뺐는데, 이는 공간을 줄이고 또한 극한값을 추정하는 데 필요하지 않기 때문입니다.)

만든 표를 보면, 극한값이 $0.25$‍일 가능성이 높다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 솔직히 말해서, 이것은 논리적인 추정값일 뿐입니다. 이것이 정말 실제 극한값인지 확실하게 말할 수는 없습니다.

스스로 표를 만들어 극한값을 추정할 때 주의해야 할 점 몇 가지는 다음과 같습니다:

함숫값이 극한값이라고 가정하는 것: 위의 예제는 함수가 정의되지 않았지만 극한값은 여전히 존재하는 경우를 보여줍니다. 함숫값을 토대로 극한값에 대해 성급히 결론을 내리지 마세요.

무한히 가까워지지 않는 것: 무한히 가까워진다는 것은 원하는 $x$‍값에 정말 가까워져서 점과 값 사이에 거의 공간이 없어질 정도가 되는 것을 의미합니다—즉, 추정값이 극한값과 거의 같다고 해도 될 정도로 가까워져야 합니다.

양쪽 방향에서 다가가지 않는 것: 원하는 $x$‍값에 왼쪽과 오른쪽 모두에서 가까워져야 한다는 것을 기억하세요. 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한의 값이 같아야 합니다. 한쪽 방향에서만 $x$‍값에 가까워진 후, 극한값에 대해 성급히 결론을 내리지 마세요.

"왼쪽"이 "음의 방향"이라고 단정하는 것: 어떤 학생들은 왼쪽에서 가까워질 때는 음수를 사용해야 한다는 잘못된 생각을 갖고 있습니다. 위의 예제에서는, $1.9$‍와 $1.99$‍처럼 $2$‍보다 약간 작은 숫자들을 사용해 왼쪽에서 $x=2$‍에 가까워졌습니다. 왼쪽에서 가까워질 때 음수의 $x$‍값을 사용해야만 한다고 단정하지 마세요.

극한값과 함숫값을 헷갈리는 것: 어떤 점에서의 극한값은 그 점에서의 함숫값과 꼭 같지는 않다는 것을 기억하세요. 예를 들어, 2번 문제에서, $g(5)=6.37$‍이지만 ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍는 $3.68$‍이었습니다.

극한값이 정수여야 한다고 단정하는 것: 어떤 극한값들은 "깔끔하게" 정수 혹은 분수의 형태입니다. 예를 들어, 첫 번째 예제에서 극한값은 $0.25$‍였습니다. 반면 어떤 극한값들을 비교적 깔끔하지 않은데, 예를 들면 2번 문제의 극한값은 $3.68$‍이었습니다.