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주요 내용

그래프를 이용한 극한값 추정

극한을 추론하는 가장 좋은 방법은 그래프를 이용하는 것입니다. 그래프를 이용하여 극한을 분석하는 방법과 극한값이 존재하지 않는 경우에 대해 배워 봅시다.
함수가 가까워지는 값, 즉 극한값과 함수값 자체와는 중요한 차이점이 있습니다. 그래프를 통해 이 차이점을 쉽게 이해할 수 있습니다.
함수를 그래프로 그린 후 애니메이션으로 나타냈습니다. x축은 0에서 3까지 이어집니다. 그래프는 (0, 0.5)에서 시작해서 (2, 0.25)의 열린 원을 지나 아래로 이어집니다. 커서가 곡선 위의 한 점을 왼쪽과 오른쪽에서 열린 원을 향해 움직이고 있습니다. 값들은 0.25에 가까워집니다. 열린 원에서, 좌표는 (2, 정의되지 않음)입니다.
desmos.com에서 limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction를 살펴보세요.
왼쪽과 오른쪽 모두에서 x=2에 가까워질수록 y=0.25에 가까워진다는 것에 주목하세요.
위의 예제에서, 함수값은 정의되지 않지만, 극한값은 약 0, point, 25라는 것을 볼 수 있습니다.
정확한 값이 아니라 대략적인 추정값을 구했다는 것을 기억하세요. 원한다면 더 확대해서 보다 정확한 추정값을 구할 수 있습니다.

예시

아래 예제들은 그래프를 이용해 극한값을 추정한 흥미로운 경우들을 보여줍니다. 몇몇 예제에서는, 극한값과 함숫값이 같으며, 다른 예제에서는 다른 경우도 있습니다.

어떤 경우에는 극한값과 함숫값이 같습니다.

연습문제 1
limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정값은 얼마인가요?
함수 g를 그래프로 그렸습니다. x축은 -8에서 8까지 이어집니다. 그래프는 한 개의 곡선으로 이루어져 있습니다. 곡선은 (-7, -8)에서 시작해서 위로 움직여 x = 1에 위치했으며 y = -1과 y = -2 사이, y = -1에 좀 더 가까이 위치한 어떤 점을 지납니다. 곡선은 제1사분면에서 끝납니다.
정답을 한 개 고르세요:
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하지만 극한값이 함숫값과 다른 경우도 있습니다.

부분적으로 정의된 함수가 주어졌을 때는, 아래와 같은 그래프를 그려볼 수 있습니다.
연습문제 2
limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정값은 얼마인가요?
함수 g를 그래프로 그렸습니다. x축은 -8에서 8까지 이어집니다. 그래프는 곡선과 닫힌 원으로 이루어져 있습니다. 곡선은 (-8, 6)에서 시작해서 아래로 움직여 (-3, 3.5) 정도까지 이어진 후, 위로 움직여 x = 1에 위치했으며, y = 4 바로 위에 위치한 열린 원을 지납니다. 곡선은 제1사분면에서 끝납니다. 닫힌 원 하나가 x = 1과 y = 2 바로 아래에 위치해 있습니다.
정답을 한 개 고르세요:
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중요한 포인트: 함숫값과 극한값이 서로 다를 수도 있습니다.

함수가 어떤 x값에서 정의되지 않았다고 해서, 극한값에 없다는 뜻은 아닙니다.

그래프에서의 구멍은 유리함수의 경우에 나타나며, 분모가 0일 때 함수가 정의되지 않기 때문에 생겨납니다. 다음은 이의 일반적인 예시입니다:
어떤 함수를 그래프로 그렸습니다. x축은 -3에서 3까지 이어집니다. 그래프는 U자 모양 곡선이며 (-2.5, 4) 정도에서 시작해서, 아래로 움직여 (0, 1)의 열린 원에 도달한 후, 위로 움직여 (2.5, 4) 정도에서 끝납니다.
다음은 y = x / sin(x)의 그래프입니다. x = 0에 구멍이 하나 있으며, 이는 함수가 이 지점에서 정의되지 않았기 때문이라는 사실에 주목하세요.
이 예제에서, 극한값은 1인 것으로 보이며, 이는 x값이 0에 가까워지면서 y가 이 값에 가까워지고 있기 때문입니다. 함수가 x, equals, 0에 정의되지 않았다는 사실은 상관이 없습니다. 극한값은 여전히 존재합니다.
다른 문제를 한 번 풀어보세요:
연습문제 3
limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정치는 얼마인가요?
함수 f를 그래프로 그렸습니다. x축은 -8에서 8까지 이어집니다. 그래프는 곡선으로 이루어져 있습니다. 곡선은 제2사분원에서 시작해서 아래로 움직여 x = -4에 위치했으며, y = 3 직선 바로 위에 위치한 열린 원을 지납니다. 곡선은 제4분원에서 끝납니다.
정답을 한 개 고르세요:
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중요 개념 강조하기: x, equals, minus, 4에서의 함수값은 극한값을 구하는 것과는 상관이 없습니다. 오직 중요한 것은 x, equals, minus, 4에 가까워지면서 y가 어떤 값에 가까워지고 있는지 알아내는 것입니다.

반대의 관점으로 보면, 함수가 어떤 x값에서 정의되어 있다고 해서, 극한값이 꼭 존재한다는 의미는 아닙니다.

전에 보았던 예제처럼, 이 그래프는 부분적으로 정의된 함수에서 일어날 수 있는 일을 보여주고 있습니다. x, equals, 3의 양쪽 방향에서 서로 다른 y값에 가까워지고 있는 것을 볼 수 있습니다.
연습문제 4
limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정치는 얼마인가요?
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연습 문제를 더 풀어보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.

요즘의 그래프 계산기들은 상당히 멋집니다.

Desmos와 같은 그래프 계산기들은 특정 x값에 가까워질 때 y값이 어떻게 되는지 알아보는 데 유용합니다. 다음 극한값을 그래프 계산기를 이용해 추정해 보세요:
limx0xsin(x)limx3x3x29\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sin(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}
두 경우 모두에서, 함수는 해당 x값에서 정의되지 않았지만, 극한값은 여전히 존재하며 이를 추정해볼 수 있습니다.

정리 문제

연습문제 5
limit, start subscript, x, \to, a, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, a, right parenthesis는 항상 성립할까요?
정답을 한 개 고르세요:
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연습문제 6
어느 명제가 그래프가 극한값을 찾는 데 어떻게 도움이 되는지 가장 잘 설명하나요?
해당하는 답을 모두 고르세요:
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