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코스: 기초 미적분학 > 단원 10

단원 2: 그래프를 이용한 극한값 추정

그래프를 이용한 극한값 추정

극한을 추론하는 가장 좋은 방법은 그래프를 이용하는 것입니다. 그래프를 이용하여 극한을 분석하는 방법과 극한값이 존재하지 않는 경우에 대해 배워 봅시다.

함수가 가까워지는 값, 즉 극한값과 함수값 자체와는 중요한 차이점이 있습니다. 그래프를 통해 이 차이점을 쉽게 이해할 수 있습니다.

lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 4}

를 살펴보세요.

왼쪽과 오른쪽 모두에서 x=2에 가까워질수록 y=0.25에 가까워진다는 것에 주목하세요.

위의 예제에서, 함수값은 정의되지 않지만, 극한값은 약

0.25

라는 것을 볼 수 있습니다.

정확한 값이 아니라 대략적인 추정값을 구했다는 것을 기억하세요. 원한다면 더 확대해서 보다 정확한 추정값을 구할 수 있습니다.

예시

아래 예제들은 그래프를 이용해 극한값을 추정한 흥미로운 경우들을 보여줍니다. 몇몇 예제에서는, 극한값과 함숫값이 같으며, 다른 예제에서는 다른 경우도 있습니다.

어떤 경우에는 극한값과 함숫값이 같습니다.

연습문제 1

$lim_{x \to 1} g (x)$ ‍의 합리적인 추정값은 얼마인가요?

하지만 극한값이 함숫값과 다른 경우도 있습니다.

부분적으로 정의된 함수가 주어졌을 때는, 아래와 같은 그래프를 그려볼 수 있습니다.

연습문제 2

$lim_{x \to 1} g (x)$ ‍의 합리적인 추정값은 얼마인가요?

중요한 포인트: 함숫값과 극한값이 서로 다를 수도 있습니다.

함수가 어떤 $x$ ‍값에서 정의되지 않았다고 해서, 극한값에 없다는 뜻은 아닙니다.

그래프에서의 구멍은 유리함수의 경우에 나타나며, 분모가

0

일 때 함수가 정의되지 않기 때문에 생겨납니다. 다음은 이의 일반적인 예시입니다:

이 예제에서, 극한값은

1

인 것으로 보이며, 이는

x

값이

0

에 가까워지면서

y

가 이 값에 가까워지고 있기 때문입니다. 함수가

x = 0

에 정의되지 않았다는 사실은 상관이 없습니다. 극한값은 여전히 존재합니다.

다른 문제를 한 번 풀어보세요:

연습문제 3

$lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍의 합리적인 추정치는 얼마인가요?

중요 개념 강조하기:

x = - 4

에서의 함수값은 극한값을 구하는 것과는 상관이 없습니다. 오직 중요한 것은

x = - 4

에 가까워지면서

y

가 어떤 값에 가까워지고 있는지 알아내는 것입니다.

반대의 관점으로 보면, 함수가 어떤 $x$ ‍값에서 정의되어 있다고 해서, 극한값이 꼭 존재한다는 의미는 아닙니다.

전에 보았던 예제처럼, 이 그래프는 부분적으로 정의된 함수에서 일어날 수 있는 일을 보여주고 있습니다.

x = 3

의 양쪽 방향에서 서로 다른

y

값에 가까워지고 있는 것을 볼 수 있습니다.

연습문제 4

$lim_{x \to 3} g (x)$ ‍의 합리적인 추정치는 얼마인가요?

연습 문제를 더 풀어보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.

요즘의 그래프 계산기들은 상당히 멋집니다.

Desmos와 같은 그래프 계산기들은 특정

x

값에 가까워질 때

y

값이 어떻게 되는지 알아보는 데 유용합니다. 다음 극한값을 그래프 계산기를 이용해 추정해 보세요:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} \end{aligned}

두 경우 모두에서, 함수는 해당

x

값에서 정의되지 않았지만, 극한값은 여전히 존재하며 이를 추정해볼 수 있습니다.

정리 문제

연습문제 5

$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍는 항상 성립할까요?

연습문제 6

어느 명제가 그래프가 극한값을 찾는 데 어떻게 도움이 되는지 가장 잘 설명하나요?

(A 선택)
그래프는 어떤 $x$ ‍값에(양쪽 방향에서) 가까워질 때, 함수가 가까워지는 유한한 $y$ ‍값을 예측하게 해 줌으로써 극한값을 추정할 수 있게 해 줍니다.
(B 선택)
그래프는 극한값의 정확한 값을 구하는 데 유용합니다.

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