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기초 미적분학
코스: 기초 미적분학 > 단원 10
단원 4: 대수적 성질을 이용하여 극한값 구하기: 극한의 성질결합함수의 극한 원리: 조건이 맞지 않을 경우
x=a 에서 결합함수 f(g(x))의 극한을 살펴본다고 가정합시다. 두 조건하에서 이 극한은 x=a 에서 g(x)의 극한이 L인 f(L)의 값과 같을 것입니다. 첫 번째 조건은 x=a 에서 g(x)의 극한이 존재하는 것입니다 (만약 그렇다면 L과 같다). 두 번째 조건은, x=L에서 f가 연속인 것입니다. 이 조건 중 하나를 충족하지 못하면 극한은f(L) 이라고 추정할 수 없습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님
동영상 대본
지난 동영상에서는
이 정리를 이용해 특정 형태의
합성함수를 계산하였습니다 이번 동영상에서는 조금 더 어려운 예제를
살펴보겠습니다 x가 0에 가까워질 때 x가 0에 가까워질 때 f(g(x))의 극한을
구한다고 합시다 f(g(x))의 극한을
구한다고 합시다 먼저 동영상을 멈추고 이 정리를 적용 가능한지
생각해 보세요 먼저 생각해 보아야 할 것은 x가 0에 가까워질 때
g(x)의 극한을 보고 첫 번째 조건을
만족하는지 보는 것입니다 여기 g(x)를 보면 x가 왼쪽에서
0에 가까워질 때 g는 2에 가까워집니다 x가 오른쪽에서
0에 가까워질 때 g는 2에 가까워집니다 따라서 이것은
2입니다 조건을
만족하네요 이제 두 번째
조건을 위해 f가 극한값
2에서 연속인지 보죠 x가 2일 때 f는 연속이 아닙니다 따라서 두 번째
조건을 만족하지 않습니다 따라서 이 정리를
바로 적용할 수 없죠 하지만 정리를
적용할 수 없다고 해서 꼭 극한이
존재하지 않는 것은 아닙니다 예를 들어 이 경우 극한은 사실 존재합니다 이렇게 생각해
볼 수 있습니다 x가 왼쪽에서
0에 가까워질 때 g는 위쪽에서
2에 가까워집니다 이것을 f에
적용할 수 있습니다 위에서 2에 가까워지는 것을 f의 대입값으로 사용하면 함수가
0에 가까워지네요 반대로도 할 수 있습니다 오른쪽에서
0에 가까워지면 함수의 값은 밑에서 2에
가까워집니다 밑에서
2에 가까워지면 f의 함숫값은
0에 가까워집니다 그러므로 두 경우 모두 함수 f의 값은
0에 가까워집니다 이렇게 정리를
사용하진 못했지만 이것이 0과 같다는 것을
알아낼 수 있었습니다 이것이 0과 같다는 것을
알아낼 수 있었습니다 이제 다른 예제를 드리죠 x가 2에 가까워질 때
f(g(x))의 극한을 구해 봅시다 x가 2에 가까워질 때
f(g(x))의 극한을 구해 봅시다 x가 2에 가까워질 때
f(g(x))의 극한을 구해 봅시다 동영상을 멈추고 먼저 이 정리를
적용할 수 있는지 보세요 x가 2에 가까워질 때 g(x)의 극한이 있는지
보아야 합니다 2를 왼쪽에서 보면 g는 -2에
가까워집니다 x = 2를 오른쪽에서
접근하면 g는 0에
가까워집니다 따라서 오른쪽과 왼쪽의 극한이
같지 않으니 이것은 존재하지 않습니다 이 조건을
만족하지 못하죠 따라서 정리를
적용할 수 없습니다 하지만 이미 보았듯이 정리를 적용할 수 없다고 해서 극한이 존재하지
않는 것은 아닙니다 생각해 보고 싶다면 아까와 비슷한 방법으로 극한이 존재하지
않는다는 것을 확인해 보세요 극한이 존재하지
않는다는 것을 확인해 보세요